Granica sin(n)

[h2822]

Dobry wieczór,

Próbowałem udowodnić, że ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = \sin(n) }\) nie posiada granic w nieskończoności. W tym celu założyłem, że taka granica istnieje i próbowałem znaleźć jakąś sprzeczność. Mój dowód wygląda następująco:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } \sin(n) = g \Rightarrow \lim_{n\to \infty } \sin(2n) = g }\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty }\cos(n) = \lim_{n\to \infty } \sin\left( \frac{ \pi }{2} +n\right) = g }\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \cos(n-n) = \lim_{n \to \infty } (\cos(n)\cdot\cos(n) + \sin(n)\cdot\sin(n)) = 2g^{2} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \cos(n-n) = \lim_{n \to \infty }\cos(0) = 1 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty }\sin(2n) = \lim_{n\to \infty } (2\cdot\sin(n)\cdot\cos(n)) = 2g^{2}}\)

Dostajemy zatem układ równań: \(\displaystyle{ 2g^{2} = g \wedge 2g^{2} = 1}\). Jednak żadna liczba g tego układu nie spełnia. Granica zatem nie istnieje.

Czy taki dowód jest poprawny? Byłbym wdzięczny za sprawdzenie i wskazanie ewentualnych błędów.

[szw1710]

Tak, to jest poprawne rozumowanie.

[a4karo]

Nie, nie jest.
Skąd wiesz, że istnieje granicą `\sin(n+\pi/2)`?
A jeżeli istnieje to czemu ma być równa `g`?

[szw1710]

No... numer przejdzie przy wykazywaniu braku granicy w nieskończoności funkcji \(f\colon \RR\to [-1,1]\) danej wzorem \(f(x)=\sin x\). Przepatrzałem to. Ale drobna modyfikacja rozumowania pozwoli na jego poprawienie. Idea jest OK.

Niestety, autor jasno napisał, że chodzi o ciąg liczbowy. Inaczej można by się wykpić, bo kto powiedział, że argument funkcji nie może nazywać się \(n\)?

[h2822]

Skąd wiesz, że istnieje granicą `\sin(n+\pi/2)`?

Tak, właśnie o poprawność tego przejścia najbardziej się obawiałem.

Ale drobna modyfikacja rozumowania pozwoli na jego poprawienie. Idea jest OK.

Mogłbym się dowiedzieć jaką modyfikację ma Pan na myśli? Bo z jednej strony widzę mniej więcej co jest nie tak, ale nie wiem jak to naprawić.

[szw1710]

Zaproponuję dowód rozbieżności cosinusa. Da się zmodyfikować na potrzeby sinusa. A przy okazji - zapraszam na swój blog.

Kod: Zaznacz cały

https://byc-matematykiem.pl/jak-zostalem-matematykiem-czesc-ii/

[Premislav]

Sprytne to jest, acz można i zaproponować coś takiego:
istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych w zbiorze \(\displaystyle{ I=\bigcup_{k\in \NN^{+}}\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi, \frac{3}{4}\pi+2k\pi\right)}\) (bo każdy z elementów tej sumy zawiera dokładnie jedną liczbę naturalną, gdyż \(\displaystyle{ 1<\frac{\pi}{2}<2}\)), jak i nieskończenie wiele liczb naturalnych w zbiorze \(\displaystyle{ J=\bigcup_{k\in \NN^{+}}\left(-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, -\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)}\).
Ponadto gdy \(\displaystyle{ n\in I}\), to \(\displaystyle{ \sin(n)>\frac{1}{\sqrt{2}}}\), a gdy \(\displaystyle{ n\in J}\), to \(\displaystyle{ \sin(n)<-\frac{1}{\sqrt{2}}}\).
Zatem ciąg \(\displaystyle{ (\sin(n))_{n\in \NN}}\) nie może być zbieżny, gdyż w sposób oczywisty nie spełnia warunku Cauchy'ego.

Dodano po 6 godzinach 27 minutach 43 sekundach:
Aha, że dokładnie jedną to raczej nieprawda (np. przedział \(\displaystyle{ (-0,01; 1,01)}\) też ma taką długość i należą doń dwie liczby naturalne), za krótko się zastanowiłem, sorry, ale to nie robi krzywdy rozwiązaniu, ważne, że sumowane zbiory są rozłączne i do każdego należy co najmniej jedna liczba naturalna.

[a4karo]

No... numer przejdzie przy wykazywaniu braku granicy w nieskończoności funkcji \(f\colon \RR\to [-1,1]\) danej wzorem \(f(x)=\sin x\). Przepatrzałem to. Ale drobna modyfikacja rozumowania pozwoli na jego poprawienie. Idea jest OK.

Niestety, autor jasno napisał, że chodzi o ciąg liczbowy. Inaczej można by się wykpić, bo kto powiedział, że argument funkcji nie może nazywać się \(n\)?

Ja bym zamiast niestety powiedział na szczęście. Bo dla wykazania że nie istnieje granica funkcji nie trzeba takich fikolkow. Niestała funkcja okresowa nie ma granicy w nieskończoności.

[mol_ksiazkowy]

W tym celu założyłem, że taka granica istnieje i próbowałem znaleźć jakąś sprzeczność.

albo też rozważyć ciąg \(\displaystyle{ \sin(n+1) + \sin(n-1)}\) itd...