Ciekawa granica

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6028
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2507 razy
Pomógł: 668 razy

Ciekawa granica

Post autor: mol_ksiazkowy » 31 lip 2020, o 11:04

Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) będzie największą nieparzystą liczbą która dzieli \(\displaystyle{ n}\). Udowodnić, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{ \frac{f(1)}{1}+...+ \frac{f(n)}{n}}{n} }\) jest zbieżny i obliczyć jego granicę
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp, Birmingham
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 12 razy

Re: Ciekawa granica

Post autor: pkrwczn » 1 sie 2020, o 17:07

Dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych \(\displaystyle{ f(n)=n}\), bo liczba n dzieli samą siebie. Dla parzystych \(\displaystyle{ f(n)=f\left(\frac{n}{2}\right)}\).

\(\displaystyle{ S(n) = \frac{\frac{f(1)}{1} + ... + \frac{f(n)}{n}}{n} = \frac{\frac{f(1)}{1}+\frac{f(3)}{3}+\frac{f(5)}{5}+...\frac{f(2)}{2}+\frac{f(4)}{4}+\frac{f(6)}{6}...+\frac{f(n)}{n}}{n} = \frac{1+1+1...+\frac{1}{2}\left(\frac{f(1)}{1}+\frac{f(2)}{2}+\frac{f(3)}{3}...\frac{f(n/2)}{n/2}\right)}{n}}\)

\(\displaystyle{ S(n)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}S\left(\frac{n}{2}\right)
}\)


Jeśli szereg jest zbieżny to \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left(S\left(n\right)-S\left(\frac{n}{2}\right)\right)=0}\), czyli \(\displaystyle{ S\left(n\right) \to S\left(\frac{n}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{4}S(n) \to \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ S(n) \to \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}}\).

A szereg jest zbieżny ponieważ jest dodatni oraz dla każdego naturalnego dodatniego m, \(\displaystyle{ \frac{f(m)}{m}\le 1}\), więc \(\displaystyle{ S(n)\le 1}\).

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9161
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1986 razy

Re: Ciekawa granica

Post autor: Dasio11 » 3 sie 2020, o 18:44

pkrwczn pisze:
1 sie 2020, o 17:07
A szereg jest zbieżny ponieważ jest dodatni oraz dla każdego naturalnego dodatniego m, \(\displaystyle{ \frac{f(m)}{m}\le 1}\), więc \(\displaystyle{ S(n)\le 1}\).
To niepoprawne wnioskowanie, bo nie każdy ciąg o wyrazach w przedziale \(\displaystyle{ (0, 1]}\) jest zbieżny.

pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp, Birmingham
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 12 razy

Re: Ciekawa granica

Post autor: pkrwczn » 3 sie 2020, o 19:02

Dasio11 pisze:
3 sie 2020, o 18:44
pkrwczn pisze:
1 sie 2020, o 17:07
A szereg jest zbieżny ponieważ jest dodatni oraz dla każdego naturalnego dodatniego m, \(\displaystyle{ \frac{f(m)}{m}\le 1}\), więc \(\displaystyle{ S(n)\le 1}\).
To niepoprawne wnioskowanie, bo nie każdy ciąg o wyrazach w przedziale \(\displaystyle{ (0, 1]}\) jest zbieżny.
Zgadza się. Zapomniałem napisać, że jest też monotoniczny.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9161
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1986 razy

Re: Ciekawa granica

Post autor: Dasio11 » 3 sie 2020, o 20:35

Ten ciąg nie jest monotoniczny.

ODPOWIEDZ