Zbiór zadań - INNE FUNKCJE

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin

Zbiór zadań - INNE FUNKCJE

Post autor: Arek » 14 maja 2005, o 09:44

ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - INNE FUNKCJE
(po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek z rozwiązaniem)
1. Funkcja \(f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) jest różniczkowalna a funkcja \(g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) jest ciągła. Zatem: a) \(f \circ g\) jest różniczkowalna b) \(f \circ g\) jest różniczkowalna c) \(f \cdot g\) jest różniczkowalna 2. Czy istnieje \(f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) ciągła i dla każdego \(x \in \mathbb R\) \(f(x) \in \mathbb Q \Leftrightarrow f(x+1) \in \mathbb{IQ}\) \(\mathbb Q\) - zbiór liczb wymiernych \(\mathbb{IQ}\) - zbiór liczb niewymiernych 3. Czy funkcja jest ograniczona w swojej dziedzinie? a) \(f(x)= \frac{x^5 + 15x^2 +77x + 168}{x^4 +1}\) b) \(f(x)=\frac{x^3 + 15x^2 +77x + 168}{x^4 +1}\) 4. Wyznacz te wartości parametru \(m\), dla których miejsce zerowe funkcji \(y = -3x + m\) jest liczbą większą od \(2\). 5. Co oznacza ze funkcja \(f(x)\) jest klasy \(C^2\) na przedziale? 6. Wyznacz dziedzinę funkcji: \(f(x) = \sqrt{x^2 +2x-3} - \sqrt{8-x}.\) 7. Wyznacz miejsce zerowe funkcji: \(f(x) = 2 + \sqrt{2-x}.\) 8. Dla jakich wartości parametru \(m\) dziedziną funkcji: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{mx^2 +4mx+m+3}}\) oraz funkcji: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{(m^2 + m - 6)x^2 +(m-2)x + 1}}\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych? 9. Rozłożyć na ułamki proste funkcję: \(f(x)= \frac{x^4 - 2}{x^3 +x}\) 10. Jak złożyć funkcje \(f\) z \(g\) i \(g\) z \(f\), gdy \(f(x,y)=(x+y,x) \\ g(x,y)=(y,x-y)\) 11. Wyznaczyć okres podstawowy funkcji: a) \(\sin 5x\) b) \(\tg \frac{x}{3}\) 12. Wyznacz dziedzinę funkcji: \(y=\log \left( \frac{x^3 + 2x^2 - x - 2}{x+3} \right)\) 13. Wyznacz dziedzinę funkcji: a) \(f(x) = \frac{1}{x+1}\) b) \(f(x) = \log \left( x^{2} \right)\) c) \(f(x) = \sqrt{x} - \log \left( x^{2} \right)\) d) \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}-2x-3}}\) 14. Zbadać parzystość funkcji: a) \(f(x)=x \left( \frac{2^{x}+1}{2^x-1} \right)\) b) \(f(x) = x \cdot \sin x - x^{3}\) c) \(f(x) = \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right)\) 15. Wyznaczyć dziedzinę funkcji: \(f(x) = \sqrt{4x^{2} - x^{4}} - \arccos \left(\frac{1}{x-2}\right)\) 16. Masę \(m\) kaszalota, w zależności od jego długości \(x\), można w przybliżeniu opisac funkcją \(m(x)=ax^3\). Kaszalot o długości \(9\ m\) i masie \(6\ t\) może w przyszłości osiągnąć \(20\ m\) długości. Jaka wtedy będzie jego masa? 17. Wyznaczyć dziedzinę, zbiór wartości i naszkicować wykres funkcji danej wzorem: a) \(y = 2\arcsin(x-1) + 1\) b) \(y = -2\arctan x + \pi\) c) \(y = \ln(x+2) - 1\) 18. Określ zbiór wartości funkcji: \(y = 4\log_{3} \left( x^{2} - 4 \right)\) 19. Szkielet prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku \(x\) wykonano z \(80\ cm\) drutu. Podaj wzór funkcji \(y=V(x)\) opisującej objętość tego prostopadłościanu w zależności od \(x\). 20. Wyznacz, o ile istnieje, funkcję odwrotną do danej funkcji: \(f(x)=\sqrt{5x+2}\) 21. Dla jakich wartości parametru \(x\), funkcja \(\sqrt{(R^2 - x^2)}(R - x)\) osiąga wartość największą? (gdzie \(R\) jest pewną liczbą rzeczywistą większą od \(0\)). 22. Jeżeli funkcja \(f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) jest nieparzysta to parzysta jest funkcja: a) \(g(x) = (f(x))^2\) b) \(g(x) = f(x^2)\) c) \(g(x) = f (f(x))\) 23. Jeżeli \(f(x) = x + 1\) i \(g(x) = \sqrt{x}\) , to: a) \(f(g(x)) = \sqrt{x} + 1\) b) \(g(f(x)) = \sqrt{x+1}\) c) \(g(f(x)) = x\) 24. Jak wygląda wykres funkcji: \(y=\frac{|x+2|x}{x+2}+|1-x|\) 25. Zbadaj dla jakich wartości parametru \(a\) zbiorem wartości funkcji \(f\) określonej wzorem: \(f(x) = \frac{x+a}{x^2 + ax - 1}\) jest zbiór wartości wszystkich liczb rzeczywistych. 26. Zbadaj ciągłość funkcji: \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, \: x \in (-\infty;-2)\\x^{2}+2x-1, \: x\in(-2;\infty)\end{array}\right.\) w punkcie \(x_{0} = -2\) 27. Na paraboli \(y^2=4x\) znajdź punkt leżący najbliżej prostej \(y=2x+4\). 28. Wyznacz wartości \(a,b\) dla których funkcja: \(f(x)= \begin{cases} \{\frac{ax-4}{x+b}\mbox{ dla }x\leq 0\mbox{ i }\ x\neq -b \\ \frac{3}{2}x-2\mbox{ dla }\ x>0 \end{cases}\) była różniczkowalna w pkt \(x=0\). 29. Udowodnić, że \(x^{2}+y^{2}\) nie da sie zapisać jako \(f(x) \cdot g(y)\). 30. Funkcja \(f\), określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, jest parzysta i nieparzysta(?) wynika, stad ze jest: a) ciągła b) okresowa c) niemalejąca 31. Zbadać z definicji parzystość funkcji: \(f(x) = x \cdot \frac{2^x-1}{2^x+1}\) 32. Wyraź w możliwie najprostszej postaci funkcje: a)\(\frac{x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{4}-2x^{2}+1}\) b)\(\frac{a^{2}+3a+2}{a^{2}+6a+5}\)
Zakończone. Ostatnia aktualizacja - 14.05.2005r.

Zablokowany