Zbiór zadań - INNE FUNKCJE

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

Zbiór zadań - INNE FUNKCJE

Post autor: Arek » 14 maja 2005, o 09:44

ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - INNE FUNKCJE
(po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek z rozwiązaniem)
1. Funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R}\) jest różniczkowalna a funkcja \(\displaystyle{ g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R}\) jest ciągła. Zatem:

a) \(\displaystyle{ f \circ g}\) jest różniczkowalna
b) \(\displaystyle{ f \circ g}\) jest różniczkowalna
c) \(\displaystyle{ f \cdot g}\) jest różniczkowalna

2. Czy istnieje \(\displaystyle{ f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R}\) ciągła i dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb R}\)

\(\displaystyle{ f(x) \in \mathbb Q \Leftrightarrow f(x+1) \in \mathbb{IQ}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb Q}\) - zbiór liczb wymiernych
\(\displaystyle{ \mathbb{IQ}}\) - zbiór liczb niewymiernych

3. Czy funkcja jest ograniczona w swojej dziedzinie?

a) \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^5 + 15x^2 +77x + 168}{x^4 +1}}\)

b) \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^3 + 15x^2 +77x + 168}{x^4 +1}}\)

4. Wyznacz te wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których miejsce zerowe funkcji \(\displaystyle{ y = -3x + m}\) jest liczbą większą od \(\displaystyle{ 2}\).

5. Co oznacza ze funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^2}\) na przedziale?

6. Wyznacz dziedzinę funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x^2 +2x-3} - \sqrt{8-x}.}\)

7. Wyznacz miejsce zerowe funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = 2 + \sqrt{2-x}.}\)

8. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) dziedziną funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{mx^2 +4mx+m+3}}}\)

oraz funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{(m^2 + m - 6)x^2 +(m-2)x + 1}}}\)

jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?

9. Rozłożyć na ułamki proste funkcję:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^4 - 2}{x^3 +x}}\)

10. Jak złożyć funkcje \(\displaystyle{ f}\) z \(\displaystyle{ g}\) i \(\displaystyle{ g}\) z \(\displaystyle{ f}\), gdy

\(\displaystyle{ f(x,y)=(x+y,x) \\ g(x,y)=(y,x-y)}\)

11. Wyznaczyć okres podstawowy funkcji:

a) \(\displaystyle{ \sin 5x}\)

b) \(\displaystyle{ \tg \frac{x}{3}}\)

12. Wyznacz dziedzinę funkcji:

\(\displaystyle{ y=\log \left( \frac{x^3 + 2x^2 - x - 2}{x+3} \right)}\)

13. Wyznacz dziedzinę funkcji:

a) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x+1}}\)

b) \(\displaystyle{ f(x) = \log \left( x^{2} \right)}\)

c) \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x} - \log \left( x^{2} \right)}\)

d) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}-2x-3}}}\)

14. Zbadać parzystość funkcji:

a) \(\displaystyle{ f(x)=x \left( \frac{2^{x}+1}{2^x-1} \right)}\)

b) \(\displaystyle{ f(x) = x \cdot \sin x - x^{3}}\)

c) \(\displaystyle{ f(x) = \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right)}\)

15. Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{4x^{2} - x^{4}} - \arccos \left(\frac{1}{x-2}\right)}\)

16. Masę \(\displaystyle{ m}\) kaszalota, w zależności od jego długości \(\displaystyle{ x}\), można w przybliżeniu opisac funkcją \(\displaystyle{ m(x)=ax^3}\). Kaszalot o długości \(\displaystyle{ 9\ m}\) i masie \(\displaystyle{ 6\ t}\) może w przyszłości osiągnąć \(\displaystyle{ 20\ m}\) długości. Jaka wtedy będzie jego masa?

17. Wyznaczyć dziedzinę, zbiór wartości i naszkicować wykres funkcji danej wzorem:

a) \(\displaystyle{ y = 2\arcsin(x-1) + 1}\)

b) \(\displaystyle{ y = -2\arctan x + \pi}\)

c) \(\displaystyle{ y = \ln(x+2) - 1}\)

18. Określ zbiór wartości funkcji:

\(\displaystyle{ y = 4\log_{3} \left( x^{2} - 4 \right)}\)

19. Szkielet prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku \(\displaystyle{ x}\) wykonano z \(\displaystyle{ 80\ cm}\) drutu. Podaj wzór funkcji \(\displaystyle{ y=V(x)}\) opisującej objętość tego prostopadłościanu w zależności od \(\displaystyle{ x}\).

20. Wyznacz, o ile istnieje, funkcję odwrotną do danej funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{5x+2}}\)

21. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ x}\), funkcja

\(\displaystyle{ \sqrt{(R^2 - x^2)}(R - x)}\)

osiąga wartość największą? (gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest pewną liczbą rzeczywistą większą od \(\displaystyle{ 0}\)).

22. Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R}\) jest nieparzysta to parzysta jest funkcja:

a) \(\displaystyle{ g(x) = (f(x))^2}\)
b) \(\displaystyle{ g(x) = f(x^2)}\)
c) \(\displaystyle{ g(x) = f (f(x))}\)

23. Jeżeli \(\displaystyle{ f(x) = x + 1}\) i \(\displaystyle{ g(x) = \sqrt{x}}\) , to:

a) \(\displaystyle{ f(g(x)) = \sqrt{x} + 1}\)
b) \(\displaystyle{ g(f(x)) = \sqrt{x+1}}\)
c) \(\displaystyle{ g(f(x)) = x}\)

24. Jak wygląda wykres funkcji:

\(\displaystyle{ y=\frac{|x+2|x}{x+2}+|1-x|}\)

25. Zbadaj dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) określonej wzorem:

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x+a}{x^2 + ax - 1}}\)

jest zbiór wartości wszystkich liczb rzeczywistych.

26. Zbadaj ciągłość funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, \: x \in (-\infty;-2)\\x^{2}+2x-1, \: x\in(-2;\infty)\end{array}\right.}\)

w punkcie \(\displaystyle{ x_{0} = -2}\)

27. Na paraboli \(\displaystyle{ y^2=4x}\) znajdź punkt leżący najbliżej prostej \(\displaystyle{ y=2x+4}\).

28. Wyznacz wartości \(\displaystyle{ a,b}\) dla których funkcja:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \{\frac{ax-4}{x+b}\mbox{ dla }x\leq 0\mbox{ i }\ x\neq -b \\ \frac{3}{2}x-2\mbox{ dla }\ x>0 \end{cases}}\)

była różniczkowalna w pkt \(\displaystyle{ x=0}\).

29. Udowodnić, że

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}}\)

nie da sie zapisać jako \(\displaystyle{ f(x) \cdot g(y)}\).

30. Funkcja \(\displaystyle{ f}\), określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, jest parzysta i nieparzysta(?)
wynika, stad ze jest:

a) ciągła
b) okresowa
c) niemalejąca

31. Zbadać z definicji parzystość funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = x \cdot \frac{2^x-1}{2^x+1}}\)

32. Wyraź w możliwie najprostszej postaci funkcje:

a)\(\displaystyle{ \frac{x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{4}-2x^{2}+1}}\)

b)\(\displaystyle{ \frac{a^{2}+3a+2}{a^{2}+6a+5}}\)
Zakończone. Ostatnia aktualizacja - 14.05.2005r.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Zablokowany