funkcja spełniajaca warunek

robin5hood · Post autor: **robin5hood** » 7 gru 2007, o 22:05

Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:R\rightarrow R}\) spełniające dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in R}\) równanie:
\(\displaystyle{ 2f(x+1)+f(-x)=x+1}\)

luka52 · Post autor: **luka52** » 7 gru 2007, o 22:17

\(\displaystyle{ 2 f(x+1) + f(-x) = x+1}\)
dla x=-x-1:
\(\displaystyle{ 2 f(-x) + f(x+1) = - x}\)
stąd:
\(\displaystyle{ -3 f(-x) = 3x + 1 \iff f(-x) = -x - \frac{1}{3} \iff f(x) = x - \frac{1}{3}}\)

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 8 gru 2007, o 20:53

luka52, mógłbyś wytłumaczyć rozwiązanie ?:)

bullay · Post autor: **bullay** » 8 gru 2007, o 23:56

Dla funkcji \(\displaystyle{ 2f(x+1)+f(-x)=x+1}\) (*) podstawiasz sobie za \(\displaystyle{ x}\): \(\displaystyle{ -x-1}\)
Wtedy otrzymujesz: \(\displaystyle{ 2 f(-x) + f(x+1) = - x}\) (**)
Mnozysz to co otrzymales razy 2 i odejmujesz stronami 2 rownania (*) i (**). Otrzymujesz wtedy:
\(\displaystyle{ -3 f(-x) = 3x + 1 \iff f(-x) = -x - \frac{1}{3} \iff f(x) = x - \frac{1}{3}}\)