Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:R\rightarrow R}\) spełniające dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in R}\) równanie:
\(\displaystyle{ 2f(x+1)+f(-x)=x+1}\)
funkcja spełniajaca warunek
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
funkcja spełniajaca warunek
\(\displaystyle{ 2 f(x+1) + f(-x) = x+1}\)
dla x=-x-1:
\(\displaystyle{ 2 f(-x) + f(x+1) = - x}\)
stąd:
\(\displaystyle{ -3 f(-x) = 3x + 1 \iff f(-x) = -x - \frac{1}{3} \iff f(x) = x - \frac{1}{3}}\)
dla x=-x-1:
\(\displaystyle{ 2 f(-x) + f(x+1) = - x}\)
stąd:
\(\displaystyle{ -3 f(-x) = 3x + 1 \iff f(-x) = -x - \frac{1}{3} \iff f(x) = x - \frac{1}{3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: -----
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 26 razy
funkcja spełniajaca warunek
Dla funkcji \(\displaystyle{ 2f(x+1)+f(-x)=x+1}\) (*) podstawiasz sobie za \(\displaystyle{ x}\): \(\displaystyle{ -x-1}\)
Wtedy otrzymujesz: \(\displaystyle{ 2 f(-x) + f(x+1) = - x}\) (**)
Mnozysz to co otrzymales razy 2 i odejmujesz stronami 2 rownania (*) i (**). Otrzymujesz wtedy:
\(\displaystyle{ -3 f(-x) = 3x + 1 \iff f(-x) = -x - \frac{1}{3} \iff f(x) = x - \frac{1}{3}}\)
Wtedy otrzymujesz: \(\displaystyle{ 2 f(-x) + f(x+1) = - x}\) (**)
Mnozysz to co otrzymales razy 2 i odejmujesz stronami 2 rownania (*) i (**). Otrzymujesz wtedy:
\(\displaystyle{ -3 f(-x) = 3x + 1 \iff f(-x) = -x - \frac{1}{3} \iff f(x) = x - \frac{1}{3}}\)