Czy różnowartościowość funkcji \(\displaystyle{ f}\) można dowodzić w ten sposób: zakładamy, że \(\displaystyle{ f(x_1) \neq f(x_2)}\) i pokazujemy, że \(\displaystyle{ x_1 \neq x_2}\)?
A jeśli nie można, to dlaczego? Chodzi o to, że zakładamy tezę?
PS Wiem, że standardowo dowodzi się w ten sposób, że zakładamy \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)}\) i pokazujemy, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\).
Dowodzenie różnowartościowości funkcji
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Dowodzenie różnowartościowości funkcji
Nie można, popełniasz błąd logiczny. To, co chciałabyś pokazywać, jest oczywistością i zachodzi dla każdej funkcji; wynika wprost z definicji funkcji. Działa też np. dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) określonej na rzeczywistych, a przecież \(\displaystyle{ f(1)=f(-1)}\).
Można natomiast wykazywać, że jeśli \(\displaystyle{ x_1\neq x_2}\), to \(\displaystyle{ f(x_1)\neq f(x_2)}\), choć zazwyczaj jest to mniej wygodne (czasem nie, np. gdy funkcja jest monotoniczna i można skorzystać z jakichś prostych nierówności).
Można natomiast wykazywać, że jeśli \(\displaystyle{ x_1\neq x_2}\), to \(\displaystyle{ f(x_1)\neq f(x_2)}\), choć zazwyczaj jest to mniej wygodne (czasem nie, np. gdy funkcja jest monotoniczna i można skorzystać z jakichś prostych nierówności).
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Dowodzenie różnowartościowości funkcji
Czyli - równoważnie - zakładasz \(\displaystyle{ x_1=x_2}\) i pokazujesz, że wówczas \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)}\). Jak nietrudno zauważyć jest to trywialnie prawdziwe dla dowolnej funkcji...
JK