czy funkcja musi być okresowa

[wojciechfil20]

Czy funkcja \(\displaystyle{ f : \RR \rightarrow \RR }\) spełniająca dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in \RR }\) i ustalonego \(\displaystyle{ a \in \RR }\) warunek \(\displaystyle{ f(x-a)+f(x)+f(x+a)=0 }\)
musi być okresowa?

[arek1357]

Rozwiązałem to równanie w dziedzinie zespolonej (stosując równanie charakterystyczne), wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ f(x) \rightarrow r^x, f(x-a) \rightarrow r^{x-a}, f(x+a) \rightarrow r^{x+a}}\)

\(\displaystyle{ r^{2a}+r^a+1=0, r^a=s}\)

\(\displaystyle{ s^2+s+1=0}\)

Tak podstawiałem... i otrzymałem równanie charakterystyczne...

\(\displaystyle{ f(x)=C_{1}\cos \frac{2\pi x}{3a} +iC_{2}\sin \frac{2\pi x}{3a}}\)

Oczywiście można wziąć tylko część rzeczywistą, która też będzie spełniać to równanie i będzie okresowa:

\(\displaystyle{ h(x)=C \cos \frac{2\pi x}{3a}}\)

\(\displaystyle{ T=3a}\)

Nie kategoryzuję, że takiej funkcji absolutnie nie ma, która to spełnia a nie jest okresowa...

[a4karo]

Do równania `f(x-a)+f(x)+f(x+a)=0` wstawmy `x:=x+a`. Dostaniemy `f(x)+f(x+a)+f(x+2a)=0`, co po odjęciu stronami daje `f(x+2a)-f(x-a)=0`. `x` było dowolne, zatem `f` jest okresowa z okresem `3a`

Dodano po 12 godzinach 2 minutach 35 sekundach:
Niech `h:[0,1)\to\RR` będzie dowolną funkcją i
\(\displaystyle{ f:[0,3)\to\RR}\) będzie dana wzorem:

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}-1+h(x) & x\in[0,1)\\ 0 & x\in[1,2)\\1-h(x)& x\in[2,3)\end{cases}}\)

Rozszerzmy teraz `f` do funkcji okresowej `g` o okresie `3`. Wtedy `g` spełnia wyjściowe równanie.