Dziwne zadanie z pochodną funkcji odwrotnej

[FilipCichowski]

Witam, mam problem z takim zadaniem z egzaminu z analizy, nie mam pojęcia jak to ugryźć. Z czego najlepiej skorzystać?

Wiadomo, że \(\displaystyle{ f = g^{-1}}\) oraz \(\displaystyle{ f(1) = 3}\), \(\displaystyle{ f(2) = 4}\), \(\displaystyle{ f'(1) = 0.25}\), \(\displaystyle{ f(2) = -0.8}\)
Ile wynosi \(\displaystyle{ g'(3)}\) ?

[Dasio11]

Skorzystaj ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej.

[Niepokonana]

Dlaczego \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje dwie różne wartości w punkcie \(\displaystyle{ 2}\)?

[arek1357]

Bo jest błąd...

[FilipCichowski]

Powinno być \(\displaystyle{ f'(2) = 0,8}\)

Próbowałem skorzystać z tego wzoru ale nie wiem jak obliczyć \(\displaystyle{ g'(3)}\) albo \(\displaystyle{ g'(3)}\)

[Niepokonana]

Głupie pytanie, ale to nie jest tak, że pochodna funkcji odwrotnej to po prostu odwrotność pochodnej w danym punkcie? Chyba że pochodna w tym punkcie jest zerowa.

[FilipCichowski]

Ok, to wiem ale nie mam pojęcia jak wyliczyć \(\displaystyle{ f(3), f'(3), g(3), g'(3)}\).

[arek1357]

Jedna rzecz mnie tu nurtuje czy ta funkcja będzie różnowartościowa na wszystkich rzeczywistych bo to warunek konieczny znalezienia odwrotnej...

[Niepokonana]

Raczej na swojej dziedzinie. A wiemy coś jeszcze o tej funkcji np. czy jest ciągła, elementarna itd.?

[arek1357]

tak tylko jeżeli pochodna raz ujemna raz dodatnia to istnieje w dziedzinie otoczenie w którym funkcja rośnie a w innym maleje więc nie wygląda na różnowartościową, a funkcja i funkcja do niej odwrotna są do siebie symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\) i z tego można korzystać, ale pod warunkiem, że funkcja jest różnowartościowa a tego na razie nie widzę...

Dodano po 28 minutach 36 sekundach:
Wystarczyłoby tylko jedną funkcję znaleźć spełniającą warunek zadania ale musi być różnowartościowa w dziedzinie ale jak pisałem tego nie widzę....

[Dasio11]

Próbowałem skorzystać z tego wzoru ale nie wiem jak obliczyć \(\displaystyle{ g'(3)}\) albo \(\displaystyle{ g'(3)}\)

Wartość \(\displaystyle{ g(3)}\) możesz wyznaczyć z definicji funkcji odwrotnej: \(\displaystyle{ f(x) = y \iff x = g(y)}\).