Funkcja bez granic jednostronnych?

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Funkcja bez granic jednostronnych?

Post autor: Niepokonana »

Dzień dobry

Jaka jest funkcja określona na przedziale \(\displaystyle{ [0,2]}\), która w punkcie \(\displaystyle{ x=1}\) nie ma granic jednostronnych. Czy ta funkcja jest ograniczona? Proszę o pomoc, bo nie umiem sobie wyobrazić funkcji, która nie miałaby granicy jednostronnej w punkcie skończonym. Czy to będzie przesunięta sinusoida warszawska? No bo jak zrobimy \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{x-1}}\), to dla \(\displaystyle{ x=1}\) mamy \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{0}=\sin \infty}\) co jest nieokreślone. Dobrze rozumuję czy źle? Jeśli źle, to jaka jest inna funkcja, która by pasowała?
Ostatnio zmieniony 26 sty 2022, o 14:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa tematu.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Funkcja bez granic jednostronnych?

Post autor: Janusz Tracz »

Niepokonana pisze: 26 sty 2022, o 14:17 Jaka jest funkcja określona na przedziale \(\displaystyle{ [0,2]}\), która w punkcie \(\displaystyle{ x=1}\) nie ma granic jednostronnych. Czy ta funkcja jest ograniczona?
To jest za mało informacji. Może być ograniczona ale nie musi. Może być nawet tak, że taka funkcja będzie ograniczona w okolicy \(\displaystyle{ x=1}\) ale nie będzie ograniczona na \(\displaystyle{ \left[ 0,2\right] }\).
Niepokonana pisze: 26 sty 2022, o 14:17 sinusoida warszawska?
Nie wiem co to jest choć się domyślam.
Niepokonana pisze: 26 sty 2022, o 14:17 No bo jak zrobimy \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{x-1}}\), to dla \(\displaystyle{ x=1}\) mamy \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{0}=\sin \infty}\) co jest nieokreślone. Dobrze rozumuję czy źle? Jeśli źle, to jaka jest inna funkcja, która by pasowała?
Pomysł jest dobry ale musisz uważać. Sama sinusoida nie wystarczy \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{0}}\) nie jest określone i musi zostać dookreślone. Innymi słowy funkcje \(\displaystyle{ x\mapsto \sin \frac{1}{x-1}}\) określisz na \(\displaystyle{ \left[ 0,2\right] \setminus \left\{ 1\right\} }\) ale ją dookreślasz potem w \(\displaystyle{ 1}\) przez cokolwiek.

~mainstreamowa uwaga:    
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Funkcja bez granic jednostronnych?

Post autor: Niepokonana »

Ok źle napisałam. Musimy podać przykład takiej funkcji.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Funkcja bez granic jednostronnych?

Post autor: Janusz Tracz »

Zatem jak wyżej. Napisanie \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{x-1} }\) to za mało. Trzeba taką funkcję jeszcze dookreślić (tak jak \(\displaystyle{ g_1}\) w uwadze). Wtedy będzie ok.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Funkcja bez granic jednostronnych?

Post autor: Jan Kraszewski »

Można też wziąć funkcję, która w żadnym punkcie przedziału \(\displaystyle{ [0,2]}\) nie ma żadnej z granic jednostronnych...

JK
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Funkcja bez granic jednostronnych?

Post autor: Niepokonana »

Czyli sinusoida warszawska pasuje. W sensie chodzi Ci o funkcję np., że \(\displaystyle{ x^{2}}\) dla iksów wymiernych i \(\displaystyle{ 0}\) dla niewymiernych? Ona nie ma granic jednostronnych nigdzie co nie?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Funkcja bez granic jednostronnych?

Post autor: Jan Kraszewski »

Wystarczy wziąć

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_Dirichleta
(z ograniczoną dziedziną).

JK
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Funkcja bez granic jednostronnych?

Post autor: Niepokonana »

Aaa ok ja znam tę funkcję, tylko nie wiedziałam, że ona ma taką nazwę. Dzięki :)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Funkcja bez granic jednostronnych?

Post autor: Janusz Tracz »

Niepokonana pisze: 26 sty 2022, o 17:26 W sensie chodzi Ci o funkcję np., że \(\displaystyle{ x^{2}}\) dla iksów wymiernych i \(\displaystyle{ 0}\) dla niewymiernych? Ona nie ma granic jednostronnych nigdzie co nie?
Jest taki punkt \(\displaystyle{ x_0}\), że ta funkcja (tak zdefiniowana przez Ciebie) będzie nawet ciągła (więc granice jednostronne błędzie mieć).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Funkcja bez granic jednostronnych?

Post autor: Jan Kraszewski »

Janusz Tracz pisze: 26 sty 2022, o 20:47Jest taki punkt \(\displaystyle{ x_0}\), że ta funkcja (tak zdefiniowana przez Ciebie) będzie nawet ciągła (więc granice jednostronne błędzie mieć).
Granice w liczbie mnogiej? Dla dziedziny \(\displaystyle{ [0,2]}\) ?

JK
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Funkcja bez granic jednostronnych?

Post autor: Janusz Tracz »

Odpowiedzi na te pytania to część podstępnego zadania.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Funkcja bez granic jednostronnych?

Post autor: Niepokonana »

Ona jest ciągła tylko w zerze, a interesuje nas jedynka i nic więcej. Ale ok ja już zrobiłam z sinusoidą warszawską.
ODPOWIEDZ