Określenie dziedziny funkcji

[Teren]

Potrzebuję pomocy w wyjaśnieniu jednego zadania.
Mam określić dziedzinę funkcji złożonej z trzech innych wzorów.
\(\displaystyle{ f(x)=x^2}\)
\(\displaystyle{ g(x)=\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\)
\(\displaystyle{ h(x)=\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ f \circ g \circ h}\)
Jeżeli najpierw wyliczymy \(\displaystyle{ g(h(x))}\), a potem \(\displaystyle{ f(g(h(x)))}\), to wyjdzie nam wzór \(\displaystyle{ 1-x^{2}}\) - więc niby dziedziną będą wszystkie liczby rzeczywiste, ale podczas podstawiania 2 będzie błąd - liczby pod pierwiastkiem będą ujemne. Jakiś pomysł jak obliczyć dziedzinę?

[Dasio11]

Szukana dziedzina składa się z tych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\), dla których przy obliczaniu \(\displaystyle{ f(g(h(x)))}\) "od środka" nie trzeba wykonywać żadnych nielegalnych operacji. Czyli dokładnie wtedy gdy:

(i) \(\displaystyle{ x \in D_h}\)

(ii) \(\displaystyle{ h(x) \in D_g}\)

(iii) \(\displaystyle{ g(h(x)) \in D_f}\)

gdzie \(\displaystyle{ D_f, D_g, D_h}\) oznaczają dziedziny funkcji w indeksach.

[Teren]

Szukana dziedzina składa się z tych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\), dla których przy obliczaniu \(\displaystyle{ f(g(h(x)))}\) "od środka" nie trzeba wykonywać żadnych nielegalnych operacji. Czyli dokładnie wtedy gdy:

(i) \(\displaystyle{ x \in D_h}\)

(ii) \(\displaystyle{ h(x) \in D_g}\)

(iii) \(\displaystyle{ g(h(x)) \in D_f}\)

gdzie \(\displaystyle{ D_f, D_g, D_h}\) oznaczają dziedziny funkcji w indeksach.

Ja zagadnienie rozumiem, problem mam jednak w jego wyliczaniu. Wychodzą mi jakieś dziwne przedziały, a jak podstawiam z nich liczbę za x to i tak wychodzi minus w pierwiastku. Po prostu myślałem, że ktoś pokaże mi dobre rozwiązanie tego zadania, bo ja od dłuższego czasu sobie rwę włosy z głowy

[Jan Kraszewski]

Po prostu myślałem, że ktoś pokaże mi dobre rozwiązanie tego zadania, bo ja od dłuższego czasu sobie rwę włosy z głowy

To tak nie działa.

Pokaż swoje rachunki, a my Ci pokażemy, gdzie się pomyliłeś i dlaczego.

JK

[Teren]

Po prostu myślałem, że ktoś pokaże mi dobre rozwiązanie tego zadania, bo ja od dłuższego czasu sobie rwę włosy z głowy

To tak nie działa.

Pokaż swoje rachunki, a my Ci pokażemy, gdzie się pomyliłeś i dlaczego.

JK

\(\displaystyle{
x \in D(f)=(- \infty ;0) \cup (0; \infty ) \wedge h(x) \in D(g)=(- \infty ;-1\rangle \cup \langle1; \infty ) \wedge g(h(x)) \in D(f)=\RR
}\)
w 2 mamy sprzeczność bo dziedzina \(\displaystyle{ h(x)}\) nie jest w \(\displaystyle{ g(x)}\) więc
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \neq (- \infty ;-1> \cup <1; \infty )}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{x} >-1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x} <1}\) z tego wychodzi \(\displaystyle{ -1<x}\) oraz \(\displaystyle{ 1<x}\) czyli zbiór \(\displaystyle{ (1; \infty )}\)
No i patrząc na poprzednie dziedziny to je jakby "dodaje" i zostaje mi w takim razie \(\displaystyle{ D(f∘g∘h)=(1; \infty ) }\)
Co jest błędem, bo np. 2 lub 3 daje minus w pierwiastku

[Jan Kraszewski]

w 2 mamy sprzeczność bo dziedzina \(\displaystyle{ h(x)}\) nie jest w \(\displaystyle{ g(x)}\)

Że co? Jaka sprzeczność?! Co to znaczy, że "dziedzina \(\displaystyle{ h(x)}\) nie jest w \(\displaystyle{ g(x)}\)"?

więc
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \neq (- \infty ;-1> \cup <1; \infty )}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{x} >-1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x} <1}\)

Nie wiem, skąd to wyczarowałeś. Masz wyraźnie określony warunek: \(\displaystyle{ h(x) \in D(g)=(- \infty ;-1\rangle \cup \langle 1; \infty )}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{x}<-1\lor \frac{1}{x}>1}\), czyli \(\displaystyle{ x\in(-1,0)\cup(0,1)}\) i już.

JK

[Dasio11]

czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{x}<-1\lor \frac{1}{x}>1}\), czyli \(\displaystyle{ x\in(-1,0)\cup(0,1)}\)

Raczej: \(\displaystyle{ \frac{1}{x} \le -1 \lor \frac{1}{x} \ge 1}\) czyli \(\displaystyle{ x \in \left<-1, 0) \cup (0, 1\right>}\).

[Teren]

Masz wyraźnie określony warunek: \(\displaystyle{ h(x) \in D(g)=(- \infty ;-1\rangle \cup \langle 1; \infty )}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{x}<-1\lor \frac{1}{x}>1}\), czyli \(\displaystyle{ x\in(-1,0)\cup(0,1)}\) i już.

Przepraszam, ale w ogóle tego nie pojmuję. Skąd nagle \(\displaystyle{ x \in \left( -1;0\right) \cup (0;1) }\)?

[Jan Kraszewski]

Raczej: \(\displaystyle{ \frac{1}{x} \le -1 \lor \frac{1}{x} \ge 1}\) czyli \(\displaystyle{ x \in \left<-1, 0) \cup (0, 1\right>}\).

Jasne.

Przepraszam, ale w ogóle tego nie pojmuję. Skąd nagle \(\displaystyle{ x \in \left( -1;0\right) \cup (0;1) }\)?

No stąd:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \le -1 \lor \frac{1}{x} \ge 1 \Leftrightarrow x \in \left<-1, 0) \cup (0, 1\right>}\)

(modulo końce przedziałów, o których zapomniałem). Narysuj sobie wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x},}\) to zobaczysz.

JK

[Teren]

Raczej: \(\displaystyle{ \frac{1}{x} \le -1 \lor \frac{1}{x} \ge 1}\) czyli \(\displaystyle{ x \in \left<-1, 0) \cup (0, 1\right>}\).

Jasne.

Przepraszam, ale w ogóle tego nie pojmuję. Skąd nagle \(\displaystyle{ x \in \left( -1;0\right) \cup (0;1) }\)?

No stąd:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \le -1 \lor \frac{1}{x} \ge 1 \Leftrightarrow x \in \left<-1, 0) \cup (0, 1\right>}\)

(modulo końce przedziałów, o których zapomniałem). Narysuj sobie wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x},}\) to zobaczysz.

JK

Ale dlaczego przedział \(\displaystyle{ (- \infty ;0) \cup (0; \infty )}\) należący do przedziału \(\displaystyle{ (- \infty ;-1) \cup (1; \infty )}\) daje wynik \(\displaystyle{ ⟨-1;0) \cup (0;1⟩}\)
Jeżeli to możliwe to prosiłbym o instrukcję krok po kroku, bo za żadne skarby świata nie rozumiem dlaczego nagle z dwóch przedziałów które mają być w sobie (o ile dobrze to rozumiem) nagle wychodzi przedział ten, gdzie tylko jeden do nich należy, a drugi nie.

[Jan Kraszewski]

Jeżeli to możliwe to prosiłbym o instrukcję krok po kroku, bo za żadne skarby świata nie rozumiem dlaczego nagle z dwóch przedziałów które mają być w sobie (o ile dobrze to rozumiem) nagle wychodzi przedział ten, gdzie tylko jeden do nich należy, a drugi nie.

Twierdziłeś, że "rozumiesz zagadnienie", a wygląda, że jednak w ogóle go nie rozumiesz.

Ale dlaczego przedział \(\displaystyle{ (- \infty ;0) \cup (0; \infty )}\) należący do przedziału \(\displaystyle{ (- \infty ;-1) \cup (1; \infty )}\) daje wynik \(\displaystyle{ ⟨-1;0) \cup (0;1⟩}\)

Po pierwsze, to nie przedział, tylko suma przedziałów. Po drugie, ta suma przedziałów nie może należeć do innej sumy przedziałów, może się co najwyżej zawierać w niej - ale nie w tym wypadku. Po trzecie - i najważniejsze - to nie ma ŻADNEGO związku z Twoim zadaniem.

W jednym ze swoich wcześniejszych postów napisałeś:

\(\displaystyle{
x \in D(f)=(- \infty ;0) \cup (0; \infty ) \wedge h(x) \in D(g)=(- \infty ;-1\rangle \cup \langle1; \infty ) \wedge g(h(x)) \in D(f)=\RR
}\)

i dokładnie to masz zrobić.

Masz koniunkcję trzech warunków. Warunek pierwszy, to \(\displaystyle{ x \in \red{(- \infty ;0) \cup (0; \infty )}}\). Warunek drugi to \(\displaystyle{ h(x) \in D(g)=(- \infty ;-1\rangle \cup \langle1; \infty )}\), czyli, równoważnie, \(\displaystyle{ \frac{1}{x} \in(- \infty ;-1\rangle \cup \langle1; \infty )}\), czyli, równoważnie, \(\displaystyle{ \frac{1}{x} \le -1 \lor \frac{1}{x} \ge 1}\), czyli, po rozwiązaniu, \(\displaystyle{ x \in \blue{\left<-1, 0) \cup (0, 1\right>}}\). Warunek trzeci to \(\displaystyle{ g(h(x)) \in D(f)=\RR}\) - jak nietrudno zauważyć, ten warunek jest zawsze spełniony.

Ostatecznie dziedziną jest część wspólna zbiorów wyznaczonych przez warunek pierwszy i drugi, czyli \(\displaystyle{ \left<-1, 0) \cup (0, 1\right>}\).

JK

[Niepokonana]

Ok mam parę pytań.
Teren Ty też jesteś na pierwszym roku matematyki?

Wolfram się chyba nie zna. Jak kazałam mu policzyć takie złożenie, to w ogóle ma w poważaniu dziedzinę. Czyli jak to się liczy? Po prostu dziedziną złożenia jest koniunkcja wszystkich dziedzin funkcji składanych? A to w sumie nie tak źle. Nie będę kłamać, jak przeczytałam, że jeden przedział należy do drugiego, to w ogóle nie wiedziałam, o co chodzi. Przedziały do nikogo nie należą. Przedziały są wolne.

Ok ok ja w ogóle nie rozumiem. Jak weźmie za iksa np. jedną drugą to dla \(\displaystyle{ g(x)}\) mamy pierwiastek z liczby ujemnej. A według Waszych ustaleń \(\displaystyle{ x=0.5}\) należy do dziedziny. Moim skromnym zdaniem koniunkcją tych dwóch przedziałów jest \(\displaystyle{ x \in (-\infty ;-1] \cup [1; \infty)}\).

[Jan Kraszewski]

Po prostu dziedziną złożenia jest koniunkcja wszystkich dziedzin funkcji składanych?

Nie ma czegoś takiego, jak "koniunkcja dziedzin". Jest co najwyżej część wspólna. I nie, nie jest to część wspólna dziedzin. Najwyraźniej masz kłopot ze zrozumieniem, czym jest złożenie funkcji.

Ok ok ja w ogóle nie rozumiem.

To przeczytaj jeszcze raz post Dasia11:

Szukana dziedzina składa się z tych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\), dla których przy obliczaniu \(\displaystyle{ f(g(h(x)))}\) "od środka" nie trzeba wykonywać żadnych nielegalnych operacji. Czyli dokładnie wtedy gdy:

(i) \(\displaystyle{ x \in D_h}\)

(ii) \(\displaystyle{ h(x) \in D_g}\)

(iii) \(\displaystyle{ g(h(x)) \in D_f}\)

gdzie \(\displaystyle{ D_f, D_g, D_h}\) oznaczają dziedziny funkcji w indeksach.

Jak weźmie za iksa np. jedną drugą to dla \(\displaystyle{ g(x)}\) mamy pierwiastek z liczby ujemnej. A według Waszych ustaleń \(\displaystyle{ x=0.5}\) należy do dziedziny. Moim skromnym zdaniem koniunkcją tych dwóch przedziałów jest \(\displaystyle{ x \in (-\infty ;-1] \cup [1; \infty)}\).

Przeczysz sama sobie. To właśnie dla Twojej (niepoprawnej) dziedziny \(\displaystyle{ x \in (-\infty ;-1] \cup [1; \infty)}\) jak wezmę \(\displaystyle{ x=2}\), to dostanę \(\displaystyle{ h(x)=\frac12}\), co przy wyznaczaniu złożenia \(\displaystyle{ g(h(x))}\) doprowadzi do próby liczenia \(\displaystyle{ g\left( \frac12\right) }\), czego - jak twierdzisz - nie powinno się robić...

JK

[Math_Logic]

Tak na wstępie, to cześć - witam nowego.

Skąd nagle \(\displaystyle{ x \in \left( -1;0\right) \cup (0;1) }\)?

Co do całego zadania, to może zacznijmy od początku. Określ dziedziny dla funkcji \(\displaystyle{ f, g, h.}\)
A potem spróbuj powiedzieć co oznacza \(\displaystyle{ g(h(x))?}\)

[Niepokonana]

Tak, panie doktorze wysoce szanowny, nie ogarniam tego złożenia funkcji. Jak to się robi? Tak jak Dasio? W sumie to ma sens. Trochę rozumiem.