Funkcje ciągłe na zbiorze

[arek1357]

Czy istnieje funkcja ciągła na zbiorze liczb wymiernych a nieciągła na zbiorze liczb niewymiernych...

Bo na odwrót znam przykłady i takie funkcje...

[Slup]

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem ciągłości pewnej funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ A}\) jest przecięciem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Można łatwo pokazać (wniosek z twr. Baire'a), że zbiór liczb wymiernych nie jest zbiorem typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\). Stąd wynika, że taka funkcja nie istnieje.

[arek1357]

Ale funkcja może być ciągła tylko i wyłącznie w jednym punkcie...

[Slup]

Jeśli chodzi Ci o to, że to przeczy faktowi, który podałem, to zapewniam, że nie przeczy. Singleton jak najbardziej jest zbiorem typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\).

[arek1357]

I można punkt wygenerować jako nieskończony iloczyn zbiorów otwartych?

Dodano po 2 minutach 15 sekundach:
Och sorki już to widzę

Dodano po 3 minutach 4 sekundach:
\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}\left( - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right)=\left\{ 0\right\} }\)

Dodano po 1 minucie 41 sekundach:
To w takim razie jeszcze jedno czy różniczkowalność ma to samo czy węższe spektrum zbiorów...

[Dasio11]

Już o to pytałeś, i nawet dostałeś odpowiedź - patrz post Spektralnego.

[arek1357]

AA tak zaciemnienie totalne...(skleroza nie boli)...