Klasyk

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ f(x)f(y) + f(x+y) = xy}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)

Ukryta treść:    

Pan African 2013

[szw1710]

Jeśli \(f(x_0)=0\) dla pewnego \(x_0\), to \(f(x_0+y)=x_0y\), więc \(f(x)=x_0(x-x_0)\) dla każdego \(x\).

Przypuśćmy więc, że \(f(x)\ne 0\) dla każdego \(x\).

Niech \(x=y=0\). Wtedy \(\bigl(f(0)\bigr)^2+f(0)=0\), a więc, ponieważ \(f(0)\ne 0\), mamy \(f(0)=-1.\) Biorąc teraz \(x=1, y=-1\) mamy \(f(1)f(-1)-1=-1\), skąd \(f(1)f(-1)=0\) wbrew założeniu.

Tak więc jedynie funkcje liniowe \(f(x)=a(x-a)\) mogą spełniać to równanie. Niech \(f\) ma tę postać. Policzmy lewą stronę równania:\[(a^2-1)xy-(a^3-a)(x+y)+a^4-a^2=xy,\]więc\[a^2xy-(a^3-a)(x+y)+a^4-a^2=0\]dla wszystkich \(x,y\) (to jest warunek konieczny jego spełnienia). Biorąc teraz \(x=1,y=-1\) mamy\[1-a^2+a^4-a^2=0,\]czyli \((a^2-1)^2=0,\) więc \(a\in\{-1,1\}\).

Zostały nam tylko dwie funkcje: \(f(x)=-(x+1)\) oraz \(f(x)=x-1\). Sprawdzamy równanie. Łatwy rachunek pokazuje, że obie je spełniają.

Odp. Nasze równanie spełniają dwie funkcje: \(f(x)=-x-1\) oraz \(f(x)=x-1\).

[a4karo]

Można też tak:
Kładąc `y=0`dostajemy `f(x)(f(0)+1)=0`, skąd `f(0)=-1` (bo `f(x)=0` nie spełnia równania).
Stąd dostajemy `f(x)f(-x)=1-x^2` a stąd `f(1)f(-1)=0`
Jeżeli `f(1)=0` to otrzymujemy `f(x+1)=x`, a gdy `f(-1)=0`, to `f(x-1)=-x`.
Dalej jest prosto.