Ukryta treść:
Klasyk
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Klasyk
Dla jakich \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ f(x)f(y) + f(x+y) = xy}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)
Ostatnio zmieniony 7 gru 2021, o 15:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja. Poprawa wiadomości.
Powód: Interpunkcja. Poprawa wiadomości.
Re: Klasyk
Jeśli \(f(x_0)=0\) dla pewnego \(x_0\), to \(f(x_0+y)=x_0y\), więc \(f(x)=x_0(x-x_0)\) dla każdego \(x\).
Przypuśćmy więc, że \(f(x)\ne 0\) dla każdego \(x\).
Niech \(x=y=0\). Wtedy \(\bigl(f(0)\bigr)^2+f(0)=0\), a więc, ponieważ \(f(0)\ne 0\), mamy \(f(0)=-1.\) Biorąc teraz \(x=1, y=-1\) mamy \(f(1)f(-1)-1=-1\), skąd \(f(1)f(-1)=0\) wbrew założeniu.
Tak więc jedynie funkcje liniowe \(f(x)=a(x-a)\) mogą spełniać to równanie. Niech \(f\) ma tę postać. Policzmy lewą stronę równania:\[(a^2-1)xy-(a^3-a)(x+y)+a^4-a^2=xy,\]więc\[a^2xy-(a^3-a)(x+y)+a^4-a^2=0\]dla wszystkich \(x,y\) (to jest warunek konieczny jego spełnienia). Biorąc teraz \(x=1,y=-1\) mamy\[1-a^2+a^4-a^2=0,\]czyli \((a^2-1)^2=0,\) więc \(a\in\{-1,1\}\).
Zostały nam tylko dwie funkcje: \(f(x)=-(x+1)\) oraz \(f(x)=x-1\). Sprawdzamy równanie. Łatwy rachunek pokazuje, że obie je spełniają.
Odp. Nasze równanie spełniają dwie funkcje: \(f(x)=-x-1\) oraz \(f(x)=x-1\).
Przypuśćmy więc, że \(f(x)\ne 0\) dla każdego \(x\).
Niech \(x=y=0\). Wtedy \(\bigl(f(0)\bigr)^2+f(0)=0\), a więc, ponieważ \(f(0)\ne 0\), mamy \(f(0)=-1.\) Biorąc teraz \(x=1, y=-1\) mamy \(f(1)f(-1)-1=-1\), skąd \(f(1)f(-1)=0\) wbrew założeniu.
Tak więc jedynie funkcje liniowe \(f(x)=a(x-a)\) mogą spełniać to równanie. Niech \(f\) ma tę postać. Policzmy lewą stronę równania:\[(a^2-1)xy-(a^3-a)(x+y)+a^4-a^2=xy,\]więc\[a^2xy-(a^3-a)(x+y)+a^4-a^2=0\]dla wszystkich \(x,y\) (to jest warunek konieczny jego spełnienia). Biorąc teraz \(x=1,y=-1\) mamy\[1-a^2+a^4-a^2=0,\]czyli \((a^2-1)^2=0,\) więc \(a\in\{-1,1\}\).
Zostały nam tylko dwie funkcje: \(f(x)=-(x+1)\) oraz \(f(x)=x-1\). Sprawdzamy równanie. Łatwy rachunek pokazuje, że obie je spełniają.
Odp. Nasze równanie spełniają dwie funkcje: \(f(x)=-x-1\) oraz \(f(x)=x-1\).
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Klasyk
Można też tak:
Kładąc `y=0`dostajemy `f(x)(f(0)+1)=0`, skąd `f(0)=-1` (bo `f(x)=0` nie spełnia równania).
Stąd dostajemy `f(x)f(-x)=1-x^2` a stąd `f(1)f(-1)=0`
Jeżeli `f(1)=0` to otrzymujemy `f(x+1)=x`, a gdy `f(-1)=0`, to `f(x-1)=-x`.
Dalej jest prosto.
Kładąc `y=0`dostajemy `f(x)(f(0)+1)=0`, skąd `f(0)=-1` (bo `f(x)=0` nie spełnia równania).
Stąd dostajemy `f(x)f(-x)=1-x^2` a stąd `f(1)f(-1)=0`
Jeżeli `f(1)=0` to otrzymujemy `f(x+1)=x`, a gdy `f(-1)=0`, to `f(x-1)=-x`.
Dalej jest prosto.