Różnowartościowość funkcji

[IceMajor2]

Witam, mam wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ g(x)=x^{4} }\) w przedziale \(\displaystyle{ x \in \langle 0; +\infty)}\) jest różnowartościowa.

Zatem \(\displaystyle{ g(x _{1} ) = g(x_{2})\\x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=0\\\left( x_{1}-x_{2}\right) \left( x_{1}+x_{2}\right) \left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=0.}\)

1.
\(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}}\)
Wszystko fajnie, bo spełnione.

2.
\(\displaystyle{ x_{1}=-x_{2}}\)
Ze względu na rozpatrywany przedział nie bierzemy tego rozwiązania pod uwagę, bo \(\displaystyle{ -x_{2}}\) jest ujemne.

3.
\(\displaystyle{ x_{1}^{2}=-x_{2}^{2}}\)
Podobne uzasadnienie jak w 2.

Moje pytanie: czy te uzasadnienia są poprawne? Czy to dobre rozumowanie i czy nie popełniłem jakiegoś błędu?

[Jan Kraszewski]

Rozumowanie jest w zasadzie poprawne, ale marnie zapisane. Powinno być tak:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x_1,x_2\in[0,+\infty)}\) takie, że \(\displaystyle{ g(x_1)=g(x_2)}\). Mamy

\(\displaystyle{ x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=0\\\left( x_{1}-x_{2}\right) \left( x_{1}+x_{2}\right) \left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=0.}\)

Zatem \(\displaystyle{ x_1=x_2}\) lub \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=0}\) lub \(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0}\). W dwóch ostatnich przypadkach, ze względu na to, że \(\displaystyle{ x_1,x_2\ge 0}\) oznacza to, że \(\displaystyle{ x_1=x_2=0.}\) Czyli zawsze \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), co kończy dowód.

JK

[IceMajor2]

Rozumowanie jest w zasadzie poprawne, ale marnie zapisane. Powinno być tak:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x_1,x_2\in[0,+\infty)}\) takie, że \(\displaystyle{ g(x_1)=g(x_2)}\). Mamy

\(\displaystyle{ x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=0\\\left( x_{1}-x_{2}\right) \left( x_{1}+x_{2}\right) \left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=0.}\)

Zatem \(\displaystyle{ x_1=x_2}\) lub \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=0}\) lub \(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0}\). W dwóch ostatnich przypadkach, ze względu na to, że \(\displaystyle{ x_1,x_2\ge 0}\) oznacza to, że \(\displaystyle{ x_1=x_2=0.}\) Czyli zawsze \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), co kończy dowód.

JK

Dziękuję, moje rozumowanie nie do końca mnie przekonywało. To Pana jednak rozwiało moje wątpliwości.