Wyznaczyć dziedzinę funkcji jednej zmienne

[matim]

Wytłumaczyłby mi ktoś te przykłady? Studia I rok.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji jednej zmienne

\(\displaystyle{ f(x) = \log(1 − 2 \cos x)}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{\log \frac{5x-x^2}{4} }}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \log[1 − \log( x^{2} − 5x + 16)]}\)

[Jan Kraszewski]

Argument logarytmu musi być dodatni, a wyrażenie pod pierwiastkiem - nieujemne. Zatem

\(\displaystyle{ f(x) = \log(1 − 2 \cos x)}\)

\(\displaystyle{ 1 − 2 \cos x>0}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{\log \frac{5x-x^2}{4} }}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \log \frac{5x-x^2}{4} \ge 0 \\ \frac{5x-x^2}{4}>0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ f(x) = \log[1 − \log( x^{2} − 5x + 16)]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 − \log( x^{2} − 5x + 16)>0 \\ x^{2} − 5x + 16>0 \end{cases} }\)

Musisz rozwiązać te nierówności bądź ich układy.

JK

[matim]

Właśnie i tu mam problem w niektórych miejscach, nie wiem co dalej mam zrobić w tych przykładach.

[Jan Kraszewski]

W których miejscach?

JK

[matim]

Fajnie by było jakby Pan te przykłady rozwiązał do końca, czyli wyznaczyć dziedzinę jednej zmiennej. Byłbym bardzo wdzięczny.

[Jan Kraszewski]

O nie, tutaj gotowców nie dajemy. Ty rozwiązujesz, a jak masz problem, to pomagamy.

JK

[matim]

W takim razie, co mam zrobić tutaj z tym cosinusem?
\(\displaystyle{ 1 - 2 \cos x > 0}\)

Czy tak będzie dobrze?
\(\displaystyle{ -2 \cos x > -1}\)
\(\displaystyle{ \cos x < \frac{1}{2} }\)

I jak teraz na osi zaznaczyć to \(\displaystyle{ \cos x < \frac{1}{2} }\)?

[Jan Kraszewski]

I jak teraz na osi zaznaczyć to \(\displaystyle{ \cos x < \frac{1}{2} }\)?

Nie chodzi o zaznaczenie na osi (choć też można), ale o wyznaczenie zbioru rozwiązań tej nierówności.

Wiesz, jak wygląda wykres funkcji cosinus? Wiesz, kiedy \(\displaystyle{ \cos x = \frac{1}{2} }\) ?

JK

[matim]

Tak, zbiór rozwiązań, lecz taka oś jest pomocna, z tego co mi wiadomo.

Tak wiem jak wygląda wykres.

Wiem tylko, że \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{2} }\) to jest 60 stopni. Ale nie wiem czy o to chodzi.

[Jan Kraszewski]

Tak, zbiór rozwiązań, lecz taka oś jest pomocna, z tego co mi wiadomo.

Tu pomoże Ci raczej wykres cosinusa.

Wiem tylko, że \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{2} }\) to jest 60 stopni. Ale nie wiem czy o to chodzi.

To za mało. Informacja, że \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} }\) jest niewystarczająca, musisz znać wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ \cos x = \frac{1}{2} }\). Mogą pomóc Ci wzory redukcyjne, wykres, okresowość cosinusa.

JK