Funkcja "na" i funkcja "w"

[arek1357]

Po co komentarz i tak wiadomo o co biega zbioru \na nie m ale jest funkcja NA czy muszę Ci takie oczywistości tłumaczyć? Każdy wie o co biega tylko nie Ty

[a4karo]

Twój poziom zrozumienia "o co biega" łatwo zauważyć w innych twoich postach, więc może raczej przemilcz ten temat.

[Jan Kraszewski]

OK. Odeszliśmy dość daleko od głównego tematu. Kończę OT i wszelkie dalsze wypowiedzi niezwiązane z tematem będą usuwane.

JK

[Niepokonana]

Nie ma takiego przedmiotu na studiach, przynajmniej nie na pierwszym roku. Mamy wstęp do logiki i teorii mnogości. Prawdopodobnie ten wstęp do matematyki chcą nam zrobić w ramach analizy, co jest dla nas dość bolesne.

Wstęp do logiki i teorii mnogości to przedmiot, o którym mówię.

A no widzisz, za takie nieprecyzyjne wyrażanie się powinieneś dostać dwóję XD No mam wstęp do logiki i on jest z takim fajnym doktorantem. Mamy to, co wyczytałam w pierwszym rozdziale Twoje skryptu, także na razie spoko. Niestety, nie uczymy się rozumieć tego, co jaśnie pan dr hab. ma na myśli. On naprawdę powinien się sformalizować. Raz dał nam takie równanie, którego nie byliśmy w stanie rozwiązać. A na kartkówce dał nam podchwytliwe pytanie, bo kazał znaleźć kresy zbioru, a zbiór nie miał kresów. Fakt, ma prawo dawać podchwytliwe zadania, ale jest to bardzo niemiłe. Na początku go lubiłam, ale już go nie lubię.

A było iść na polibudę?

Nie było. Ale no wiesz, okazuje się, że Ukraińcy i Białorusini z fałszywymi wynikami z matur są lepszymi studentami według uczelni, a mi matura z matematyki nie poszła zbyt wybitnie, bo dowalili tyle geometrii, że masakra. Także nie mogłam być zbyt wybredna. Ale luz, pewnie mnie wywalą, bo mamy koniec miesiąca, a nie podpisałam umowy z uczelnią? Nie ogarniam tych formalności za dużo tego. Nawet mamy egzamin z regulaminu biblioteki. Dla mnie wyrobienie sobie dowodu było szczytem możliwości. Także się nie przejmuj za rok przyjdę do Ciebie na wrocławski i będę na Ciebie narzekać.

ale jak mam się skupić na wykładzie, który trwa 1 godzinę 35 minut bez przerw? Niby mają robić nam 15 minut przerwy, ale rzadko kto tak robi, niestety.

Przerwa to podstawa...

Cieszę się, że się zgadzamy.

Czyli że co. Jak chcę udowodnić, że dana funkcja jest odwracalna, to mam udowodnić po prostu, że jest równowartościowa, jest suriekcją i znaleźć wzór funkcji odwrotnej? To tyle?

Do odwracalności potrzebujesz różnowartościowość i surjektywność. Znalezienie wzoru funkcji odwrotnej to już następne polecenie.

Ale łącznie jest to jedno zadanie.

A jak to udowodnić? Bardzo formalnie czy jak.

Z definicji.

JK

Z definicji czego? Ja znam tylko twierdzenie o przerwie i to twierdzenie o granicy ciągu, że wychodzi \(\displaystyle{ e}\). Chodziło mi o to, czy mam pisać ładnie "teraz udowodnię, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest różnowartościowa", czy mogę napisać parę równań tu i ówdzie? Bo mój dr hab. uznaje pisanie równań jak popadnie, natomiast dr od obliczeń symbolicznych każe nam pisać, co robimy, nawet jeżeli robimy banalne rzeczy (bo na razie jesteśmy bardzo początkujący w kwestii używania programu i uczymy się wpisywać do niego podstawowe działania) typu stosunek dwóch liczb. No i nie wiem, komu mam wierzyć. A tak w ogóle nie powinieneś zmoderować mojego tematu za offtopic czy coś? Nie wiem, tak mi się wydaje.


Areczek, weź się zastanów zanim bzdury powypisujesz. Ta implikacja tak nie działa. Tak to nie Twoja działka, Twoja działka jest za Twoim domkiem na Twojej małej wsi.

Dodano po 28 sekundach:
Aaa dobra, teraz widzę, że zmoderowałeś.

[Jan Kraszewski]

A no widzisz, za takie nieprecyzyjne wyrażanie się powinieneś dostać dwóję XD

A skąd ja mam wiedzieć, jak ten przedmiot nazywa się na Twojej uczelni, skoro nawet nie wiem, co to za uczelnia? U mnie nazywa się Wstęp do matematyki...

Dla mnie wyrobienie sobie dowodu było szczytem możliwości. Także się nie przejmuj za rok przyjdę do Ciebie na wrocławski i będę na Ciebie narzekać.

Zapraszam. Tyle, że słaby wynik maturalny może nie wystarczyć, żeby się dostać. A obcokrajowcy, na których wyrzekasz, są podczas rekrutacji przyjmowani z innej puli, więc to nie ma wpływu na Twoje dostanie się bądź nie.

Ale łącznie jest to jedno zadanie.

Ale składające się z dwóch części - najpierw trzeba zrobić pierwszą, potem można robić drugą.

Z definicji czego? Ja znam tylko twierdzenie o przerwie i to twierdzenie o granicy ciągu, że wychodzi \(\displaystyle{ e}\). Chodziło mi o to, czy mam pisać ładnie "teraz udowodnię, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest różnowartościowa", czy mogę napisać parę równań tu i ówdzie? Bo mój dr hab. uznaje pisanie równań jak popadnie, natomiast dr od obliczeń symbolicznych każe nam pisać, co robimy, nawet jeżeli robimy banalne rzeczy (bo na razie jesteśmy bardzo początkujący w kwestii używania programu i uczymy się wpisywać do niego podstawowe działania) typu stosunek dwóch liczb. No i nie wiem, komu mam wierzyć.

To jest pytanie techniczne, a nie matematyczne - różne osoby mają różne wymagania. Ja uznaję, że zawsze powinno się swoje rozumowania zapisywać starannie (choć bez popadania w skrajności), natomiast skoro Twój dr hab. uznaje "pisanie jak popadnie", to pewnie u niego możesz tak pisać, pytanie brzmi tylko, czy warto to robić.

Ja mówię swoim studentom, że żeby mieć pozwolenie na pisanie "jak popadnie" trzeba najpierw nauczyć się pisać starannie...

JK

[Niepokonana]

Wiem, wiem żartuję sobie Ej ej ej, mój wynik był relatywnie wysoki. Względnie wysoki na tle innych maturzystów, średni ogólnie.

Czyli co? To już koniec tego zadania? Ok dziękuję za pomoc, zaraz pewnie zrobię nowy wątek z innym zadaniem.

[Jan Kraszewski]

Czyli co? To już koniec tego zadania?

No nie wiem, nie widzieliśmy rozwiązania...

JK

[krl]

To ja jeszcze skomentuję kwestię mówienia "funkcja jest na zbiór \(\displaystyle{ Z}\)", czy "funkcja jest w zbiór \(\displaystyle{ Z}\)". To jest pewien żargon i na wstępnych wykładach z matematyki prowadzący powinni go unikać. A jeśli już go używają, powinni wyjaśnić, skąd się wziął. Zapis: \(\displaystyle{ f:X\to Z}\) oznacza, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Z}\), co znów jest pewnym skrótem. W pełnej wersji można by powiedzieć, że każdemu elementowi \(\displaystyle{ x\in X}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) przypisuje pewną wartość \(\displaystyle{ f(x)}\) ze zbioru \(\displaystyle{ Z}\), czyli inaczej: funkcja \(\displaystyle{ f}\) przekształca zbiór \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Z}\). Stąd żargonowy zwrot "funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją w zbiór \(\displaystyle{ Z}\)".
To, że funkcja \(\displaystyle{ f:X\to Z}\) jest surjekcją, oznacza, że przekształca zbiór \(\displaystyle{ X}\) na cały zbiór \(\displaystyle{ Z}\) (czyli że każdy element zbioru \(\displaystyle{ Z}\) jest postaci \(\displaystyle{ f(x)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in X}\)), stąd powiedzenie w tym przypadku, że "funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest na zbiór \(\displaystyle{ Z}\)".
Zabawne, że czasami wykładowcy używają tego żargonu bez jego wyjaśnienia studentom i dziwią się, że studenci nie rozumieją...
W takich przypadkach radze po prostu się zapytać, natychmiast, w czasie zajęć. Porządny wykładowca będzie bardzo zadowolony.

[arek1357]

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCnowarto%C5%9Bciowa

Jak widzę nie znasz warunków na różnowartościowość trudno ale to twój problem...

[Niepokonana]

No dobrze, skoro chcesz zobaczyć moje rozwiązanie.

Udowodnimy, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{1+|x|}}\) jest różnowartościowa.
\(\displaystyle{ D=\RR}\), bo mianownik nigdy nie jest zerowy i nie ma czego wyrzucać z dziedziny. Weźmy dowolne \(\displaystyle{ u, w \in D}\) takie, że \(\displaystyle{ u \neq w
}\). Jeżeli funkcja nie jest różnowartościowa znajdą się takie różne \(\displaystyle{ u,w}\), dla których przyjmuje ona takie same wartości.

\(\displaystyle{ f(u)=f(w)}\)
\(\displaystyle{ \frac{u}{1+|u|}= \frac{w}{1+|w|} }\)
\(\displaystyle{ u|w|+u=w+|u|w}\)
Coś mi nie wychodzi, ale nie wiem co. Powiedzcie, co mam źle.

Funkcja jest różnowartościowa, gdy dla dowolnych różnych jej argumentów przyjmuje różne wartości. A Ty Areczek nie znasz definicji aksjomatu i w ogóle to idź sobie.

[Jan Kraszewski]

Jak widzę nie znasz warunków na różnowartościowość trudno ale to twój problem...

A Ty kwantyfikatorów.

Weźmy dowolne \(\displaystyle{ u, w \in D}\) takie, że \(\displaystyle{ u \neq w
}\). Jeżeli funkcja nie jest różnowartościowa znajdą się takie różne \(\displaystyle{ u,w}\), dla których przyjmuje ona takie same wartości.

Z formalnego punktu widzenia to jest źle (choć miałaś dobre intencje) - to jest właśnie to niedocenianie kwantyfikatorów... Skoro ustaliłaś już \(\displaystyle{ u, w \in D}\), to nie możesz pisać, że "znajdą się takie różne \(\displaystyle{ u,w}\)".

Albo - po ustaleniu dowolnych \(\displaystyle{ u, w \in D}\) - zakładasz, że \(\displaystyle{ u \neq w}\) i pokazujesz, że \(\displaystyle{ f(u) \neq f(w)}\), albo zakładasz, że \(\displaystyle{ f(u)=f(w)}\) i pokazujesz, że wówczas \(\displaystyle{ u=w}\).

\(\displaystyle{ f(u)=f(w)}\)
\(\displaystyle{ \frac{u}{1+|u|}= \frac{w}{1+|w|} }\)
\(\displaystyle{ u|w|+u=w+|u|w}\)
Coś mi nie wychodzi, ale nie wiem co. Powiedzcie, co mam źle.

Nic, po prostu utknęłaś w połowie dowodu. Możesz teraz np. rozważyć cztery przypadki: \(\displaystyle{ 1.\ u,v\ge 0,\ 2.\ u<0,w\ge 0}\) itd. Pamietaj, że Twoim celem jest pokazanie, że \(\displaystyle{ u=w}\).

JK

[arek1357]

Ty nie rozumiesz z tego, że:

\(\displaystyle{ f(u)=f(w)}\) wynikać ma, że:\(\displaystyle{ u=w}\)

I próbujesz mnie poprawiać (bez sensu) ale sama nie wiesz o co ci biega...

A co do tego konkretnego przykładu to dlatego ci nie wychodzi bo powinnaś rozważyć dwa przypadki:

1. Argumenty większe lub równe zero

2. Argumenty mniejsze od zera...

3. Na przemian...

Wtedy ci będzie łatwiej i się nie pogubisz...

Po prostu rozłóż sobie tę funkcję jakby na dwie gdzie "pierwsza" dla nieujemnych a druga dla ujemnych...

I na przemian też ...(jeden arg. ujemny drugi dodatni)

Wtedy masz bardzo klarowne sytuacje

Jeżeli na drugi raz zechcesz obalać to co piszę to skłaniaj się bardziej do konkretów jak na razie to se możesz obalić piwo pod sklepem...

[Jan Kraszewski]

Ty nie rozumiesz z tego, że:

\(\displaystyle{ f(u)=f(w)}\) wynikać ma, że:\(\displaystyle{ u=w}\)

I próbujesz mnie poprawiać (bez sensu) ale sama nie wiesz o co ci biega...

Funkcja \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) jest różnowartościowa nie wtedy, gdy "\(\displaystyle{ f(u)=f(w)}\) wynikać ma, że:\(\displaystyle{ u=w}\)", tylko wtedy, gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ u,v\in X}\) z tego, że \(\displaystyle{ f(u)=f(w)}\) wynika, że \(\displaystyle{ u=w}\). Oczywiście zdaję sobie sprawę, że niektórzy mogą nie rozumieć tego niuansu i myślą o samych rachunkach, uważam wszelakoż, że studenci matematyki powinni to wiedzieć.

A co do tego konkretnego przykładu to dlatego ci nie wychodzi bo powinnaś rozważyć dwa przypadki:

1. Argumenty większe lub równe zero

2. Argumenty mniejsze od zera...

Wtedy ci będzie łatwiej i się nie pogubisz...

Ta wskazówka też jest niewystarczająca, bo przypadki muszą być cztery (w praktyce wystarczą trzy, ale z komentarzem).

JK

[arek1357]

No jasne, że chodzi o dowolne (jeszcze trzeba by dodać , że tak naprawdę nie dowolne tylko należące do dziedziny) ale chyba by nawet koń na to wpadł, jak ktoś jest na takich poważnych studiach to tłumacząc mu takie rzeczy to chyba można go obrazić tym...

Dodano po 6 minutach 10 sekundach:
Muszę dodać jeszcze, że na stolikach Kawiarni Szkockiej niektóre zapiski podobno były tak lakoniczne i zdawkowe, że każdy dobry dydaktyk by na widok tego mógł zwymiotować..

Dodano po 2 minutach 57 sekundach:
Podpowiedzi do zadań nie muszą polegać na kompletnym formaliźmie językowym, przytaczaniu definicji całościowych, itd...
dla inteligentnych czasem wystarczy mrugnięcie okiem, jakiś gest a jak widać dla Niepokonanej potrzeba jak krowie na rowie...I tak marny efekt...

Przy tego typu zadaniach stosuje się formę lakonicznej podpowiedzi, gestu, symbolu a merytorykę i kompleksowość zostawmy podręcznikom...

[Jan Kraszewski]

Muszę dodać jeszcze, że na stolikach Kawiarni Szkockiej niektóre zapiski podobno były tak lakoniczne i zdawkowe, że każdy dobry dydaktyk by na widok tego mógł zwymiotować..

No i co z tego? Sytuacja bywalców Szkockiej i studentów pierwszego roku matematyki jest nieporównywalna.

JK