Funkcja "na" i funkcja "w"

[arek1357]

Zgadza się ale ja chciałem żeby Niepokonana sama bardziej przy tym banalnym zadańku pomyślała a nie żeby jej z tego robić jakieś wykłady od podstaw..
Oczywiście co innego jakby zadanie było warte pochylenia się głębszego nad nim, itd...

A jak jej się każe myśleć to ona strzela focha i się wymądrza...

Dla mnie "studium" nad tym zadańkiem jest o tyle ciekawe, że łatwo i klarownie można mieć ogląd na zachowanie i reakcje Niepokonanej...
Także jest to bardziej analiza zachowań Niepokonanej aniżeli samego zadania... (człowiek staje się wtedy bardziej psychologiem choć jak widzę może i psychiatrą)...

[Jan Kraszewski]

Arku, po pierwsze, przypominam Ci Regulamin:

II.2. Forum Matematyka.pl gromadzi Użytkowników w różnym wieku o zróżnicowanym poziomie znajomości matematyki. Każdy ma prawo do niewiedzy. Każdemu Użytkownikowi należy się szacunek, niezależnie czy jest na poziomie 1-szej klasy podstawówki, czy 4-go roku matematyki. Wszelkie naśmiewanie się z innych, zastraszanie, czy inna forma rażącego naruszania godności osobistej innego Użytkownika - będzie karane.

Nie jesteś od wychowywania Niepokonanej na forum. Możecie sobie korespondować przez PW, jak oboje chcecie.

Po drugie, znów odlatujesz w OT. Powstrzymaj zatem swoje pseudopsychologiczne rozważania (albo pisz sobie w Hyde Parku) i skoncentruj się na temacie wątku.

JK

[Niepokonana]

No dobrze, te liczby należą do dziedziny i zakładamy, że są od siebie różne. Proszę, daj Areczkowi banana na jeden dzień, żebyśmy mogli dokończyć to zadanie, bo Wasze dyskusje mnie rozpraszają i nie wiem, czy mam je ignorować czy nie.

Jak to rozwiązywaliśmy, to nie było przypadków, ale ok.
1) oba nieujemne, pomijamy wartość bezwzględną

\(\displaystyle{ uw+u=w+uw}\)
\(\displaystyle{ u=w}\)
2) oba ujemne
\(\displaystyle{ -uw+u=w-uw}\)
\(\displaystyle{ u=w}\)

3) \(\displaystyle{ u<0}\), \(\displaystyle{ w>0}\)
\(\displaystyle{ uw+u=w-uw}\)
\(\displaystyle{ u+2uw=w}\)
\(\displaystyle{ u= \frac{w}{1+2w} }\)
I to w ogóle nie ma sensu, bo iloraz dwóch liczb nieujemnych nie może być ujemny.
4) To samo będzie dla \(\displaystyle{ u>0 i w<0}\), ale żeby zaspokoić formalizm niektórych tu zgromadzonych. Możliwe, że zamieniłam oba przypadki miejscami, ale nie szkodzi.

\(\displaystyle{ -uw+u=w+uw}\)
\(\displaystyle{ w= \frac{u}{1+2u} }\)

Dla tych dwóch przypadków, w których zależność między \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ w}\) ma sens, żeby \(\displaystyle{ f(x)}\) miała takie same wartości dla różnych argumentów, argumenty te muszą być takie same, co daje sprzeczność. Dlatego \(\displaystyle{ f(x)}\) jest różnowartościowa.
Teraz suriekcja. Czyli co. Mam policzyć, jaki jest zbiór wartości i stwierdzić, że funkcja jest suriekcją na ten zbiór? Tak to działa? Pytam się, bo nie jestem pewna, już się pogubiłam.

Dodano po \(\displaystyle{ i}\) minucie \(\displaystyle{ e}\) sekundach:
Ja nie chcę XD Widzisz o to mi chodzi. Jak Areczek gada sobie od rzeczy w hydeparku to trudno, ale jak gada mi w wątku, to wątek staje się zbyt długi i ważne treści się gubią.

[Jan Kraszewski]

No dobrze, te liczby należą do dziedziny i zakładamy, że są od siebie różne.

Nie. Ustalasz dwie dowolne liczby \(\displaystyle{ u,w}\) z dziedziny i zakładasz, że wartości w nich są równe: \(\displaystyle{ f(u)=f(v)}\). Masz problem z logiczną strukturą dowodu, a nie z rachunkami.

Jak to rozwiązywaliśmy, to nie było przypadków

Nikt nie mówi, że nie ma innego argumentu. Po prostu ta droga wydaje się prosta (gdy utkniesz i nie wiesz, co zrobić).

1) oba nieujemne, pomijamy wartość bezwzględną

\(\displaystyle{ uw+u=w+uw}\)
\(\displaystyle{ u=w}\)
2) oba ujemne
\(\displaystyle{ -uw+u=w-uw}\)
\(\displaystyle{ u=w}\)

3) \(\displaystyle{ u<0}\), \(\displaystyle{ w>0}\)
\(\displaystyle{ uw+u=w-uw}\)
\(\displaystyle{ u+2uw=w}\)
\(\displaystyle{ u= \frac{w}{1+2w} }\)
I to w ogóle nie ma sensu, bo iloraz dwóch liczb nieujemnych nie może być ujemny.
4) To samo będzie dla \(\displaystyle{ u>0 i w<0}\), ale żeby zaspokoić formalizm niektórych tu zgromadzonych. Możliwe, że zamieniłam oba przypadki miejscami, ale nie szkodzi.

\(\displaystyle{ -uw+u=w+uw}\)
\(\displaystyle{ w= \frac{u}{1+2u} }\)

OK.

Dla tych dwóch przypadków, w których zależność między \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ w}\) ma sens, żeby \(\displaystyle{ f(x)}\) miała takie same wartości dla różnych argumentów, argumenty te muszą być takie same, co daje sprzeczność. Dlatego \(\displaystyle{ f(x)}\) jest różnowartościowa.

No właśnie - rachunki w porządku, komentarz zły. Tego właśnie powinni uczyć na Wstępie do matematyki (czy jak to się u Ciebie nazywa... ), żebyś wiedziała, co zakładasz, a co wnioskujesz i potrafiła potem napisać poprawny komentarz do wykonanych rachunków

Teraz suriekcja. Czyli co. Mam policzyć, jaki jest zbiór wartości i stwierdzić, że funkcja jest suriekcją na ten zbiór? Tak to działa? Pytam się, bo nie jestem pewna, już się pogubiłam.

No cóż, w zasadzie powinnaś mieć jasno określoną przeciwdziedzinę i sprawdzić, czy jest ona równa zbiorowi wartości tej funkcji. Choć jeśli dr hab. jest mało formalny, to i Twoja wersja jest możliwa. Tyle, że każda funkcja jest z definicji funkcją "na" swój zbiór wartości, więc tu mówienie o surjektywności nie bardzo ma sens. Wtedy jak masz funkcję różnowartościową \(\displaystyle{ f}\), to istnieje funkcja do niej odwrotna, której dziedziną jest zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\).

JK

[Niepokonana]

No dobrze, jak chcesz, bierzemy dwie literki z alfabetu, wsadzamy je do nawiasu z literą f i dopisujemy między nimi znak równości. My mamy wstęp do logiki i teorii mnogości, a że nas kobiet logika nie obowiązuje (tak to wynika z memów), to nie muszę się tego uczyć XD Nie no żartuję. Mieliśmy dwa albo trzy ćwiczenia i na razie mieliśmy znak sumy \(\displaystyle{ \sum_{a}^{b} }\), indukcję i te podstawowe spójniki logiczne z negacją włącznie. To wszystko, dowodów nie mieliśmy.

Nie no, widzisz, jak to rozpisywaliśmy na tablicy, to od razu po przemnożeniu ułamków skrócono iloczyny od razu... A robiliśmy tak samo.

Eee, a przeciwdziedzina to nie jest zbiór wartości??? Teraz już nie rozumiem.

[Jan Kraszewski]

Nie no, widzisz, jak to rozpisywaliśmy na tablicy, to od razu po przemnożeniu ułamków skrócono iloczyny od razu... A robiliśmy tak samo.

Ciekawe na jakiej podstawie...

Eee, a przeciwdziedzina to nie jest zbiór wartości??? Teraz już nie rozumiem.

Nie. Porządnie zdefiniowana funkcja ma określoną dziedzinę i przeciwdziedzinę: jeśli \(\displaystyle{ f:X\to Y}\), to \(\displaystyle{ X}\) nazywamy dziedziną, a \(\displaystyle{ Y}\) przeciwdziedziną. Zbiór wartości funkcji jest podzbiorem przeciwdziedziny, ale nie musi być jej równy.

Można inaczej definiować pojęcie funkcji, ale wtedy nie bardzo jest sens mówić o surjektywności.

JK

[Niepokonana]

No tak jak mówię, ludzie z mojej grupy piszą przypadkowe równania na tablicy, a dr hab je zatwierdza.

No ale nie powiedziałeś, co to jest przeciwdziedzina. Mogę sobie dać dowolny zbiór, do którego zbiór wartości się zawiera i powiedzieć, że jest to przeciwdziedzina?

[Jan Kraszewski]

No ale nie powiedziałeś, co to jest przeciwdziedzina.

Powiedziałem. Zgodnie z definicją funkcji, o której mówię, określając funkcję musisz podać, co jest jej dziedziną i przeciwdziedziną oraz podać - nieco upraszczając - jej wzór. Bez tego określenie funkcji jest niepełne. Dlatego właśnie napisałem na początku tego wątku:

Chodzi o odwrócenie funkcji \(\displaystyle{ y= \frac{x}{1+|x|} }\)

To nie jest funkcja, tylko sam wzór. Musisz jeszcze podać dziedzinę i przeciwdziedzinę. Bez tego ciężko mówić o odwracalności.

Zgodnie ze wspomnianą definicją funkcje:

\(\displaystyle{ f_1:\RR\to\RR, f_1(x)=x^2\\
f_2:\RR\to[0,+\infty),f_2(x)=x^2\\
f_3:[0,+\infty)\to[0,+\infty),f_3(x)=x^2}\)

to trzy różne funkcje.

Mogę sobie dać dowolny zbiór, do którego zbiór wartości się zawiera i powiedzieć, że jest to przeciwdziedzina?

Nie.

Natomiast sądząc po tym, co opisujesz, na zajęciach z dr. hab. istotny jest tylko wzór, a całą resztę należy sobie "domyśleć". Jako dziedzinę przyjmujemy tzw. "dziedzinę naturalną", czyli największy podzbiór \(\displaystyle{ \RR}\), dla którego wzór funkcji ma sens liczbowy, przeciwdziedziną w ogóle się nie przejmujemy albo utożsamiamy ją ze zbiorem wartości, a jak chcemy funkcję odwracać, to sprawdzamy różnowartościowość i szukamy zbioru wartości, który będzie dziedziną funkcji odwrotnej. Mnie to zgrzyta, ale to nie moje zajęcia... Natomiast mówienie wtedy o surjekcji to trochę perwersja...

JK

[krl]

Zgodnie ze wspomnianą definicją funkcje:

\(\displaystyle{ f_1:\RR\to\RR, f_1(x)=x^2\\
f_2:\RR\to[0,+\infty),f_2(x)=x^2\\
f_3:[0,+\infty)\to[0,+\infty),f_3(x)=x^2}\)

to trzy różne funkcje.

@Jan Kraszewski: Janie, zdradziłeś teorię mnogości na rzecz teorii kategorii? Poza tym, by mówić, że funkcja jest surjekcją, wcale nie trzeba tej zdrady dokonywać. Po prostu mówimy wtedy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest (lub nie jest) surjekcją, traktowana jako funkcja ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\), tzn. jako funkcja \(\displaystyle{ f:X\to Y}\). Surjektywność nie jest wtedy immanentną cechą funkcji, lecz cechą funkcji rozpatrywanej w odpowiednim kontekście.
Przechodząc do głównego wątku mam wrażenie, że dzieli się tu włos na czworo. Niepokonana przypuszczalnie mówi tu o zajęciach z jakiejś wstępnej analizy, gdzie wzór oznacza w praktyce funkcję \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) i w tym kontekście należy badać, czy ta funkcja jest różnowartościowa i "na".

[Jan Kraszewski]

@Jan Kraszewski: Janie, zdradziłeś teorię mnogości na rzecz teorii kategorii?

Skąd ten pomysł?

Poza tym, by mówić, że funkcja jest surjekcją, wcale nie trzeba tej zdrady dokonywać. Po prostu mówimy wtedy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest (lub nie jest) surjekcją, traktowana jako funkcja ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\), tzn. jako funkcja \(\displaystyle{ f:X\to Y}\).

Memu sercu także bliższa jest definicja, w której funkcja jest zbiorem par o własności jednoznaczności, co pozwala na powyższe podejście, jednak uważam, że na pierwszym semestrze "sztywna" definicja z dziedziną i przeciwdziedziną jest lepsza (mimo pewnych "skutków ubocznych"), a potem można ją niuansować.

Surjektywność nie jest wtedy immanentną cechą funkcji, lecz cechą funkcji rozpatrywanej w odpowiednim kontekście.

Jak dla mnie surjektywność tak naprawdę nie jest immanentną cechą funkcji (jak np. różnowartościowość), bo sens dyskutowania o niej zależy od wyboru definicji funkcji. Zależy zatem raczej od opisu niż od samego bytu.

Przechodząc do głównego wątku mam wrażenie, że dzieli się tu włos na czworo. Niepokonana przypuszczalnie mówi tu o zajęciach z jakiejś wstępnej analizy, gdzie wzór oznacza w praktyce funkcję \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) i w tym kontekście należy badać, czy ta funkcja jest różnowartościowa i "na".

Zgadzam się, że to wstępna analiza, ale nie sądzę, by było aż tak dobrze, że traktujemy tę funkcję jako \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\). Gdyby tak było, to nie próbowalibyśmy jej odwracać... Jest raczej tak, jak napisałem pod koniec poprzedniego posta, czyli jeszcze mniej formalnie.

JK

[janusz47]

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{1 +|x|}, \ \ x\in \RR. }\)

Dla każdego \(\displaystyle{ x\in \RR }\) spełniona jest nierówności:

\(\displaystyle{ -1 < \frac{x}{1 +|x|} < 1, }\)

Przekształcając tę nierówność równoważnie, otrzymamy

\(\displaystyle{ -1 - |x| < x < 1 + |x| }\)

Uwzględniając na jednym rysunku wykresy funkcji

\(\displaystyle{ y = -1 -|x|, \ \ y = x , \ \ y = 1+|x| }\)

widzimy, że każda wartość funkcji \(\displaystyle{ f }\) jest liczbą z przedziału \(\displaystyle{ (-1, 1). }\)

Pozostaje dowieść, że każda liczba z przedziału \(\displaystyle{ (-1, 1) }\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ f. }\)

Niech \(\displaystyle{ \xi }\) będzie dowolną liczbą z przedziału \(\displaystyle{ (-1, 1) }\)

Mamy pokazać, że \(\displaystyle{ \xi }\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ f }\) tzn. że istnieje w zbiorze \(\displaystyle{ \RR }\) rozwiązanie równania

\(\displaystyle{ \frac{x}{1 +|x|} = \xi }\)

Załóżmy, że równanie to posiada przynajmniej jeden pierwiastek. Oznaczmy dowolny z nich przez \(\displaystyle{ x_{0}. }\)

Wówczas prawdziwa jest równość

\(\displaystyle{ \frac{x_{0}}{1+|x_{0}|} = \xi }\)

Niech

\(\displaystyle{ \xi >0 }\)

Wtedy \(\displaystyle{ x_{0} > 0, \ \ \frac{x_{0}}{1+|x_{0}|} = \xi , \ \ x_{0} = \xi + \xi x_{0}. \ \ x_{0} = \frac{\xi}{1 -\xi} \ \ (1) }\)

\(\displaystyle{ \xi = 0 }\)

Wtedy \(\displaystyle{ x_{0} = 0 \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ \xi < 0 }\)

Wtedy \(\displaystyle{ x_{0} < 0, \ \ \frac{x_{0}}{1 - x_{0}} = \xi, \ \ x_{0} = \xi - \xi x_{0} , \ \ x_{0} = \frac{\xi}{1 + \xi} \ \ (3)}\)

Uwzględniając wyniki uzyskane w \(\displaystyle{ (1), (2), (3), }\) mamy \(\displaystyle{ x_{0} = \frac{\xi}{1 - |\xi|}.}\)

Udowodniliśmy, że jeśli istnieje pierwiastek równania, to jest nim tylko liczba \(\displaystyle{ \frac{\xi}{1 -|\xi|}. }\)

Czy jest to pierwiastek równania - sprawdzamy, podstawiając do równania:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{\xi}{1 -|\xi|}}{ 1 + \left| \frac{\xi}{1 -|\xi|}\right|} = \frac{\frac{\xi}{1-|\xi|}}{1 + \frac{|\xi|}{1 -|\xi|}} = \frac{\xi}{1 -|\xi|+|\xi|} = \xi.}\)

\(\displaystyle{ \xi }\) jest obrazem dokładnie jednego elementu przy przekształceniu \(\displaystyle{ f }\) - funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest więc różnowartościowa.

Ma więc funkcję odwrotną \(\displaystyle{ f^{-1} }\) określoną wzorem:

\(\displaystyle{ f^{-1}(x) = \frac{x}{1 - |x|} }\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in (-1, 1).}\)

(*) Skrypt ś.p. Roberta Hajłasza: METODYKA ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ. WYDAWNICTWA UNIWERSYTETU WARSZAWSKIEGO 1985.

[krl]

Odwracalność funkcji. Dr hab. woła kogoś do tablicy, oczywiście się nie zgłaszam, idzie kolega. Kolega coś tam liczy i dr hab. mówi "dobrze, ale jeszcze musimy sprawdzić czy funkcja jest na". Okazuje się, że tylko funkcje "na" są odwracalne. Funkcje "na zbiorze". I pytanie jest "o co mu chodziło".
Chodzi o odwrócenie funkcji \(\displaystyle{ y= \frac{x}{1+|x|} }\)
Proszę o pomoc i wyjaśnienie warunków, które musi spełniać funkcja, żeby można było ją odwrócić.

Janie, przeczytaj dokładnie pierwszy wpis Niepokonanej w tym wątku. Główne pytanie dotyczy odwracalności funkcji \(\displaystyle{ f}\) podanej powyższym wzorem. "Jakiś kolega się zgłasza i coś tam liczy." Pewnie liczy, że \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa. "dr.hab. mówi >>dobrze<<, ale jeszcze musimy sprawdzić, czy funkcja jest >>na<<" (no bo tego dokładnie brakuje do odwracalności funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\)). (Dla Niepokonanej: bo funkcja \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest różnowartościowa i "na".) I tyle.
Za moim rozumieniem wpisu Niepokonanej przemawia też jej kolejna uwaga, że funkcja odwrotna to taka, której wykres jest symetryczny do wykresu odwracanej funkcji. Tak jest właśnie dla funkcji \(\displaystyle{ \mathbb{R}\to\mathbb{R}}\). Czyli: wszystko tu dotyczy funkcji \(\displaystyle{ \mathbb{R}\to\mathbb{R}}\). Przecież na analizie 1 rozważa się głównie takie funkcje.
Zdrada teorii mnogości: właśnie w teorii kategorii rozważa się funkcję jako obiekt z wbudowaną weń przeciwdziedziną. To tam rozróżnia się funkcje \(\displaystyle{ f_1}\) i \(\displaystyle{ f_2}\) z Twojego wpisu. W teorii mnogości się tego nie robi. Myślę, że również na I semestrze nie trzeba. Wystarczy zawsze formułować pytania o surjektywność funkcji jako pytania w konkretnym kontekście \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) (tzn. ze wskazaną przeciwdziedziną).

A tymczasem Janusz47 pięknie wszystko rozwiązał.

[Jan Kraszewski]

Janie, przeczytaj dokładnie pierwszy wpis Niepokonanej w tym wątku. Główne pytanie dotyczy odwracalności funkcji \(\displaystyle{ f}\) podanej powyższym wzorem. "Jakiś kolega się zgłasza i coś tam liczy." Pewnie liczy, że \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa. "dr.hab. mówi >>dobrze<<, ale jeszcze musimy sprawdzić, czy funkcja jest >>na<<" (no bo tego dokładnie brakuje do odwracalności funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\)). (Dla Niepokonanej: bo funkcja \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest różnowartościowa i "na".) I tyle.
Za moim rozumieniem wpisu Niepokonanej przemawia też jej kolejna uwaga, że funkcja odwrotna to taka, której wykres jest symetryczny do wykresu odwracanej funkcji. Tak jest właśnie dla funkcji \(\displaystyle{ \mathbb{R}\to\mathbb{R}}\). Czyli: wszystko tu dotyczy funkcji \(\displaystyle{ \mathbb{R}\to\mathbb{R}}\). Przecież na analizie 1 rozważa się głównie takie funkcje.

Ja to wiem, ale zauważ, że Niepokonana pisze też:

\(\displaystyle{ D=\RR}\), bo mianownik nigdy nie jest zerowy i nie ma czego wyrzucać z dziedziny.

czyli jednak nie rozważamy funkcji \(\displaystyle{ \mathbb{R}\to\mathbb{R}}\), tylko \(\displaystyle{ D\to\mathbb{R}}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest dziedziną naturalną. Pisze też

a \(\displaystyle{ y \in (-1;1)}\). Widać to od razu, ale przez 15 minut to udowodnialiśmy. Ja słyszałam, że dla każdego igreka musi się znaleźć jakiś iks, do którego jest przypisany, ale nie jestem pewna.

czyli nie rozważamy funkcji \(\displaystyle{ f:D\to\mathbb{R}}\), tylko - de facto - \(\displaystyle{ f:D\to\text{rng}\,f}\), a to sprawdzanie, że funkcja jest "na" jest tak naprawdę wyznaczaniem zbioru wartości tej funkcji.

Ja zasadniczo nie mam z tym problemu, to jest analiza i inaczej podchodzi się do pewnych rzeczy. Pewnym problemem wydaje się fakt, że istota tych rachunków nie była chyba najlepiej wyjaśniona.

Zdrada teorii mnogości: właśnie w teorii kategorii rozważa się funkcję jako obiekt z wbudowaną weń przeciwdziedziną. To tam rozróżnia się funkcje \(\displaystyle{ f_1}\) i \(\displaystyle{ f_2}\) z Twojego wpisu. W teorii mnogości się tego nie robi. Myślę, że również na I semestrze nie trzeba. Wystarczy zawsze formułować pytania o surjektywność funkcji jako pytania w konkretnym kontekście \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) (tzn. ze wskazaną przeciwdziedziną).

W teorii mnogości nie, dlatego na WdTZ już inaczej mówię o funkcjach. Natomiast pozostanę przy swoim zdaniu i na Wstępie do matematyki nadal będę definiować funkcję "kategoryjnie", bo to jednak zapewnia jednoznaczność pewnych rozważań, co dla początkujących jest ważne (zaznaczę przy tym, że nie ukrywam przed studentami minusów tego podejścia ani tego, że nie jest to jedyne podejście).

JK

[a4karo]

JK, ja wiem, że to duży OT, ale czy mógłbyś mi pokazać jak wygląda definicja pochodnej funkcji?

Albo sumy dwóch funkcji (f+g)?

[Jan Kraszewski]

JK, ja wiem, że to duży OT, ale czy mógłbyś mi pokazać jak wygląda definicja pochodnej funkcji?

Za duży OT

Albo sumy dwóch funkcji (f+g)?

Jakich funkcji?

JK