Funkcja "na" i funkcja "w"

[Niepokonana]

Odwracalność funkcji. Dr hab. woła kogoś do tablicy, oczywiście się nie zgłaszam, idzie kolega. Kolega coś tam liczy i dr hab. mówi "dobrze, ale jeszcze musimy sprawdzić czy funkcja jest na". Okazuje się, że tylko funkcje "na" są odwracalne. Funkcje "na zbiorze". I pytanie jest "o co mu chodziło".
Chodzi o odwrócenie funkcji \(\displaystyle{ y= \frac{x}{1+|x|} }\)
Proszę o pomoc i wyjaśnienie warunków, które musi spełniać funkcja, żeby można było ją odwrócić.

[Jan Kraszewski]

Okazuje się, że tylko funkcje "na" są odwracalne. Funkcje "na zbiorze".

Nie "na zbiorze", tylko "na zbiór".

Chodzi o odwrócenie funkcji \(\displaystyle{ y= \frac{x}{1+|x|} }\)

To nie jest funkcja, tylko sam wzór. Musisz jeszcze podać dziedzinę i przeciwdziedzinę. Bez tego ciężko mówić o odwracalności.

Proszę o pomoc i wyjaśnienie warunków, które musi spełniać funkcja, żeby można było ją odwrócić.

Funkcja \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) jest odwracalna jeżeli jest różnowartościowa, a jej zbiorem wartości jest zbiór \(\displaystyle{ Y}\).

JK

[Niepokonana]

Ale to nie jest po polsku. Ok. Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, a \(\displaystyle{ y \in (-1;1)}\). Widać to od razu, ale przez 15 minut to udowodnialiśmy.
Ja słyszałam, że dla każdego igreka musi się znaleźć jakiś iks, do którego jest przypisany, ale nie jestem pewna. Mój dr hab. nie tłumaczy zbyt dobrze. Doktor od algebry jest fajniejszy.

[Jan Kraszewski]

Ale to nie jest po polsku.

Jest - to termin matematyczny. A "na zbiorze" oznacza zupełnie co innego.

Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, a \(\displaystyle{ y \in (-1;1)}\). Widać to od razu, ale przez 15 minut to udowodnialiśmy.

Czyli rozumiem, że to zadanie z analizy, zatem poziom formalizmu jest niższy...

Innymi słowy, po prostu wyznaczaliście zbiór wartości tej funkcji. A "widać od razu" to żaden argument.

Ja słyszałam, że dla każdego igreka musi się znaleźć jakiś iks, do którego jest przypisany, ale nie jestem pewna.

A znasz definicję funkcji odwrotnej?

JK

[Niepokonana]

To jest niski poziom formalizmu według Ciebie? O.O A bo Ty jesteś doktorem od zbiorów co nie? Czyli od największego możliwego formalizmu?
Kiedy na studiach zaczną się fajne rzeczy? Bo ja lubię matematykę, ale no.

No to jest symetria tej funkcji względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\), że zamieniamy igreki z iksami. Pewnie nie jest to wystarczająco formalne, ale to jest taka definicja, którą znam.

[Jan Kraszewski]

To jest niski poziom formalizmu według Ciebie?

Tak.

A bo Ty jesteś doktorem od zbiorów co nie? Czyli od największego możliwego formalizmu?

Ja uczę "Wstępu do matematyki", czyli między innymi porządnego i starannego używania języka matematyki. Nie masz takiego przedmiotu na studiach?

Kiedy na studiach zaczną się fajne rzeczy? Bo ja lubię matematykę, ale no.

To zależy, czego oczekujesz - może nigdy. Zawsze może okazać się, że Twoje wyobrażenie o studiach matematycznych rozminęło się z rzeczywistością (czego Ci nie życzę). To tak, jak osoby, które idą na studia astronomiczne myśląc, że będą obserwować gwiazdy, a tu na początku sama matematyka wyższa i fizyka.

No to jest symetria tej funkcji względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\), że zamieniamy igreki z iksami. Pewnie nie jest to wystarczająco formalne, ale to jest taka definicja, którą znam.

No nie jest. A na wykładzie nie było? I znajdujecie funkcję odwrotną nie znając jej definicji? Hmm...

Definicja mówi, że jeśli mamy funkcję różnowartościową \(\displaystyle{ f:X\to Y}\), która jest surjekcją, to istnieje funkcja do niej odwrotna \(\displaystyle{ f^{-1}:Y\to X}\), która jest zdefiniowana warunkiem \(\displaystyle{ f^{-1}(y)=x\iff f(x)=y.}\)

JK

[arek1357]

Współczuję że doktor znęca się nad wami i nad tą funkcją całą lekcję, która na to nie zasługuje...

[Niepokonana]

Nie ma takiego przedmiotu na studiach, przynajmniej nie na pierwszym roku. Mamy wstęp do logiki i teorii mnogości. Prawdopodobnie ten wstęp do matematyki chcą nam zrobić w ramach analizy, co jest dla nas dość bolesne.

Rozwiązywanie problemów, szukanie rozwiązania, a nie tylko pisanie oczywistości za pomocą różnych znaczków. Ehhh, ja się gubię. Rozwiązując te zadania, czuję się, jakbym wiedziała dokąd iść, ale drogę porosły krzaki. Koledzy piszą małymi literkami na tablicy, w kolejności przypadkowej i to, co piszą nie ma dla mnie zbyt wielkiego sensu. No bo moje rozumowanie nie jest poprawne, ale dodanie do niego jakiegoś nic nie zmieniającego równania już jest? Przydałoby się więcej tłumaczenia.

Nie zadawaj takich pytań, mówimy o polskiej polibudzie xd Mój prof. od wykładów stwierdził, że na razie wykłady nie są zbyt wyrównane, bo na wykładach jest dużo materiału, a na ćwiczeniach mało. Prawdopodobnie było, ale jak mam się skupić na wykładzie, który trwa 1 godzinę 35 minut bez przerw? Niby mają robić nam 15 minut przerwy, ale rzadko kto tak robi, niestety.

Czyli że co. Jak chcę udowodnić, że dana funkcja jest odwracalna, to mam udowodnić po prostu, że jest równowartościowa, jest suriekcją i znaleźć wzór funkcji odwrotnej? To tyle? A jak to udowodnić? Bardzo formalnie czy jak.

Doktor znęca się nad nami? XD Oj, Areczek, z takimi opiniami to byłbyś u mnie w grupie uwielbiany.

[Jan Kraszewski]

Nie ma takiego przedmiotu na studiach, przynajmniej nie na pierwszym roku. Mamy wstęp do logiki i teorii mnogości. Prawdopodobnie ten wstęp do matematyki chcą nam zrobić w ramach analizy, co jest dla nas dość bolesne.

Wstęp do logiki i teorii mnogości to przedmiot, o którym mówię.

Nie zadawaj takich pytań, mówimy o polskiej polibudzie xd

A było iść na polibudę?

ale jak mam się skupić na wykładzie, który trwa 1 godzinę 35 minut bez przerw? Niby mają robić nam 15 minut przerwy, ale rzadko kto tak robi, niestety.

Przerwa to podstawa...

Czyli że co. Jak chcę udowodnić, że dana funkcja jest odwracalna, to mam udowodnić po prostu, że jest równowartościowa, jest suriekcją i znaleźć wzór funkcji odwrotnej? To tyle?

Do odwracalności potrzebujesz różnowartościowość i surjektywność. Znalezienie wzoru funkcji odwrotnej to już następne polecenie.

A jak to udowodnić? Bardzo formalnie czy jak.

Z definicji.

JK

[arek1357]

Sorry ale jak mówimy o suriektywności musimy coś wiedzieć o zbiorze "NA" bo inaczej będzie z tego lipa...

Areczek, z takimi opiniami to byłbyś u mnie w grupie uwielbiany

Generalnie jestem...!

[Jan Kraszewski]

Sorry ale jak mówimy o suriektywności musimy coś wiedzieć o zbiorze "NA"

Wypowiadasz się z typową dla siebie precyzją...

JK

[arek1357]

Ach podpowiem mimo iż to nie moja działka:

\(\displaystyle{ f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}}\)

Proste i skuteczne...

[Jan Kraszewski]

Ach podpowiem mimo iż to nie moja działka:

To widać.

JK

[arek1357]

Wypowiadasz się z typową dla siebie precyzją...

I tak za dużo powiedziałem Ty powinieneś czytać z ruchu warg

Dodano po 1 minucie 52 sekundach:

To widać.

Znaczy masz dobre okulary...

Gratuluję spostrzegawczości brawo!!!...

Proszę o bis...

Dodano po 9 godzinach 32 minutach 30 sekundach:
Czy masz inne spojrzenie na zbiór NA i różnowartościowość funkcji?

[Jan Kraszewski]

Czy masz inne spojrzenie na zbiór NA i różnowartościowość funkcji?

Nie ma czegoś takiego jak "zbiór NA", a definicja różnowartościowości jest bogatsza od tego, co zaproponowałeś. Nie mówiąc już o zupełnym braku sensownego komentarza.

JK