Funkcja "na" i funkcja "w"

[a4karo]

Na przykład `D, F, G\subset\RR, (f,D,F)` i `(g,D,G)`

[janusz47]

Trudno dzisiaj mówić o analizie matematycznej bez wykorzystywania w niej pojęć teorii mnogości.

W tym przykładzie, który wywołał tak gorącą dyskusję, zbiór \(\displaystyle{ \RR }\) i przedział \(\displaystyle{ (-1, 1) }\) są zbiorami równolicznymi, czyli równej mocy, bo istnieje funkcja różnowartościowa \(\displaystyle{ f }\) określona wzorem \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{1+|x|}, \ \ x\in \RR }\), która odwzorowuje zbiór \(\displaystyle{ \RR }\) na przedział \(\displaystyle{ (-1, 1). }\)

[a4karo]

Trudno dzisiaj mówić o analizie matematycznej bez wykorzystywania w niej pojęć teorii mnogości.

W tym przykładzie, który wywołał tak gorącą dyskusję, zbiór \(\displaystyle{ \RR }\) i przedział \(\displaystyle{ (-1, 1) }\) są zbiorami równolicznymi, czyli równej mocy, bo istnieje funkcja różnowartościowa \(\displaystyle{ f }\) określona wzorem \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{1+|x|}, \ \ x\in \RR }\), która odwzorowuje zbiór \(\displaystyle{ \RR }\) na przedział \(\displaystyle{ (-1, 1). }\)

Jaki to ma związek z dyskusją?

[Niepokonana]

Bez sensu. Moje zdanie jest takie, że mój dr hab. użył jakiegoś pojęcia bezmyślnie, a teraz Jan Kraszewski próbuje to doprecyzować. Jutro zapytam się dr hab., o co mu chodzi.

[Jan Kraszewski]

Na przykład `D, F, G\subset\RR, (f,D,F)` i `(g,D,G)`

Jak się uprzesz, to możesz \(\displaystyle{ f+g:D\to F+G=\{a+b:a\in F\land b\in G\},\ (f+g)(x)=f(x)+g(x).}\)

JK

PS
Nie jestem dogmatykiem. Mogę zgodzić się z krl, że "Wystarczy zawsze formułować pytania o surjektywność funkcji jako pytania w konkretnym kontekście \(\displaystyle{ f:X→Y}\) (tzn. ze wskazaną przeciwdziedziną)." Tyle, że w praktyce niewiele różni się to od tego, że mówiąc o funkcji musimy określić zbiór, z którego bierzemy argumenty (dziedzinę) i w którym leżą wartości (przeciwdziedzinę). Rozróżnienie, czy mówiąc o
\(\displaystyle{ f_1:\RR\to\RR, f_1(x)=x^2\\
f_2:\RR\to[0,+\infty),f_2(x)=x^2}\)
mówimy o różnych funkcjach, czy o różnych kontekstach tej samej funkcji jest dość akademickie i z punktu widzenia studenta 1. semestru chyba niezbyt istotne.

[Niepokonana]

Ja mam taki pomysł. Ty mi powiesz tylko o tych rzeczach, które musi wiedzieć początkujący student, a ja zignoruję całą resztę. Teraz z tego wątku zrobił się śmietnik i nie wiem, co mam ignorować, a czego nie. Ale doceniam, że dałeś areczkowi przymusowe uspokojenie.

[Jan Kraszewski]

Jeśli chodzi o to zadanie, to masz rozwiązanie janusza47 (w duchu analitycznym). A o dowodzie samej różnowartościowości też wcześniej było.

Natomiast spełnienie Twojej prośby "Ty mi powiesz tylko o tych rzeczach, które musi wiedzieć początkujący student," jest raczej niewykonalne. Po to poszłaś na studia, żeby się tego dowiedzieć. Tym bardziej, że - z praktycznego punktu widzenia - ważniejsze jest to, czego uczą Cię na tych studiach, bo tego będą wymagać.

JK

[Niepokonana]

Tylko teraz nie czas na dowiadywanie się takich rzeczy, bo niepotrzebnie mi mącicie w głowie. No dobrze, dziękuję za pomoc, w takim razie zapoznam się z postem Janusza i tyle. Nie miej wobec mnie jakiś oczekiwań. Myślisz, że ja dobiję do magisterki? Bądźmy szczerzy, wywalą mnie albo za papiery, albo za coś innego. Na wszystko przyjdzie czas, uczę się powoli, bez pośpiechu. Ok dziękuję za pomoc i koniec tematu, bo i tak popełniliśmy offtopic.

[a4karo]

Na przykład `D, F, G\subset\RR, (f,D,F)` i `(g,D,G)`

Jak się uprzesz, to możesz \(\displaystyle{ f+g:D\to F+G=\{a+b:a\in F\land b\in G\},\ (f+g)(x)=f(x)+g(x).}\)

JK

Janie, nie uważasz, że studentowi na pierwszym roku (szczególnie takiemu, co chce zostać "formalistą") należy się coś lepszego niż tekst typu "jak się uprzesz..."?

Jak taki biedak potem będzie liczył `\log ((x)+(1-x))` dla `-1<x<1`, skoro dziedziną funkcji pod logarytmem jest zbiór `(-2,2)`?

Dodano po 23 minutach 22 sekundach:

[

PS
Nie jestem dogmatykiem. Mogę zgodzić się z krl, że "Wystarczy zawsze formułować pytania o surjektywność funkcji jako pytania w konkretnym kontekście \(\displaystyle{ f:X→Y}\) (tzn. ze wskazaną przeciwdziedziną)." Tyle, że w praktyce niewiele różni się to od tego, że mówiąc o funkcji musimy określić zbiór, z którego bierzemy argumenty (dziedzinę) i w którym leżą wartości (przeciwdziedzinę). Rozróżnienie, czy mówiąc o
\(\displaystyle{ f_1:\RR\to\RR, f_1(x)=x^2\\
f_2:\RR\to[0,+\infty),f_2(x)=x^2}\)
mówimy o różnych funkcjach, czy o różnych kontekstach tej samej funkcji jest dość akademickie i z punktu widzenia studenta 1. semestru chyba niezbyt istotne.

Może nie jest to istotne, ale, pierwiastek z tej pierwszej nie istnieje, a z drugiej tak.

[Jan Kraszewski]

Janie, nie uważasz, że studentowi na pierwszym roku (szczególnie takiemu, co chce zostać "formalistą") należy się coś lepszego niż tekst typu "jak się uprzesz..."?

Jak się taki znajdzie, to mu dokładniej wytłumaczę sytuację.

JK

[a4karo]

@Niepokonana
Ty lepiej porzuć swoje chęci zostania formalistką. Jak widzisz z powyższego, nawet taki spec jak JK unika odpowiedzi na pytanie o formalną definicję dość elementarnego pojęcia.

Powodzenia na studiach.

[Niepokonana]

Definicje elementarnych pojęć są najgorsze xd
Ale dlaczego mam porzucić moje chęci zostania formalistką? Że jak Kraszewski mi nie odpowiedział dobrze, to ja się nie nadaję, czy jak?

Dodano po 42 sekundach:
Dzięki. Plan jest taki, że zapytam się dr hab. jak ma być i tak będę pisać. Znany żart "ile to jest 2+2? A ile ma być?".