Witam, z góry przepraszam, ale nie mam pojęcia do jakiego działu przypiąć to zadanie, a nawet jaki byłby odpowiedni tytuł. Do rzeczy
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ g:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)}\) jest wklęsła oraz spełnia warunek \(\displaystyle{ g(x)=0 \Leftrightarrow x=0}\) to spełnia warunek \(\displaystyle{ g(x+y) \le g(x)+ g(y)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in [0,\infty)}\).
Chodzi o to, żeby skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ g((1-\alpha )x+\alpha y) \ge (1-\alpha )g(x) + \alpha g(y)}\),
gdzie \(\displaystyle{ g: I\rightarrow \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ I \subset \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ \alpha \in [0,1]}\), \(\displaystyle{ x,y\in I}\), czyli definicji funkcji wklęsłej.
Przyznaję, że nie wiem jak się do tego zabrać... pierwszą myślą był dowód nie wprost, ale chyba nie tędy droga.
Udowodnij, że funkcja wklęsła spełnia warunek
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Udowodnij, że funkcja wklęsła spełnia warunek
Kładąc \(\displaystyle{ x = 0}\) dostajesz, że funkcja \(\displaystyle{ g}\) spełnia \(\displaystyle{ g(\alpha z) \ge \alpha g(z)}\). Pomysł jakie rzeczy powstawiać za \(\displaystyle{ t,z}\), aby wyszło co trzeba.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Udowodnij, że funkcja wklęsła spełnia warunek
Hmm... Jakoś trzeba wykorzystać wklęsłość funkcji...
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Udowodnij, że funkcja wklęsła spełnia warunek
Wyraź `x` oraz `y` jako kombinacje wypukłą zera i `x+y` , napisz dla nich warunki wklęsłości i dodaj stronami
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Udowodnij, że funkcja wklęsła spełnia warunek
Aj, źle napisałem. Miałem na myśli \(\displaystyle{ \alpha}\), zamiast \(\displaystyle{ t}\).