Udowodnij, że funkcja wklęsła spełnia warunek

[Roshita]

Witam, z góry przepraszam, ale nie mam pojęcia do jakiego działu przypiąć to zadanie, a nawet jaki byłby odpowiedni tytuł. Do rzeczy

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ g:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)}\) jest wklęsła oraz spełnia warunek \(\displaystyle{ g(x)=0 \Leftrightarrow x=0}\) to spełnia warunek \(\displaystyle{ g(x+y) \le g(x)+ g(y)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in [0,\infty)}\).

Chodzi o to, żeby skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ g((1-\alpha )x+\alpha y) \ge (1-\alpha )g(x) + \alpha g(y)}\),
gdzie \(\displaystyle{ g: I\rightarrow \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ I \subset \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ \alpha \in [0,1]}\), \(\displaystyle{ x,y\in I}\), czyli definicji funkcji wklęsłej.

Przyznaję, że nie wiem jak się do tego zabrać... pierwszą myślą był dowód nie wprost, ale chyba nie tędy droga.

[Tmkk]

Kładąc \(\displaystyle{ x = 0}\) dostajesz, że funkcja \(\displaystyle{ g}\) spełnia \(\displaystyle{ g(\alpha z) \ge \alpha g(z)}\). Pomysł jakie rzeczy powstawiać za \(\displaystyle{ t,z}\), aby wyszło co trzeba.

[Roshita]

Za t? Tzn. w którym miejscu?

[Dilectus]

Hmm... Jakoś trzeba wykorzystać wklęsłość funkcji...

[a4karo]

Wyraź `x` oraz `y` jako kombinacje wypukłą zera i `x+y` , napisz dla nich warunki wklęsłości i dodaj stronami

[Tmkk]

Za t? Tzn. w którym miejscu?

Aj, źle napisałem. Miałem na myśli \(\displaystyle{ \alpha}\), zamiast \(\displaystyle{ t}\).