Kwadrat i iloczyn

[mol_ksiazkowy]

Wyznaczyć \(\displaystyle{ f}\) jeśli \(\displaystyle{ (f(x))^2 f( \frac{1-x}{1+x} )=x}\) dla \(\displaystyle{ x \neq -1}\).

[kerajs]

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) mam \(\displaystyle{ (f(0))^2 f( 1 )=0}\) , więc \(\displaystyle{ f(0)=0 \ \vee \ f(1)=0}\) .
Jednak dla \(\displaystyle{ x=1}\) dostaję \(\displaystyle{ (f(1))^2 f(0)=1}\) , czyli \(\displaystyle{ f(0) \neq 0 \ \wedge \ f(1) \neq 0}\) , więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie istnieje.

[mol_ksiazkowy]

Należy więc założyć jakas skromniejsza dziedzinę np \(\displaystyle{ \RR \setminus \{ -1, 1 \}}\)...

[a4karo]

Wtedy kładąc `x:=\frac{1-x}{1+x}` dostajemy
\(\displaystyle{ f^2\left(\frac{1-x}{1+x}\right)f(x)=\frac{1-x}{1+x}}\) i widzimy, że funkcja jest niezerowa w całej dziedzinie.
Dzieląc stronami oryginalne równanie przez to powyższe dostajemy
(*) \(\displaystyle{ \frac{f(x)}{f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}=x\frac{1+x}{1-x}}\)
zaś mnożąc mamy
(**) \(\displaystyle{ \left[{f(x)}{f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}\right]^3=x\frac{1-x}{1+x}}\)
Podnosimy (*) do trzeciej potęgi, mnożymy przez (**) i dostajemy
\(\displaystyle{ f^3(x)=x^4\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2}\)