Krzywe parametryczne

[matfanka]

Dana jest funkcja:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
y(t)=\cos(t)+\cos(t/2) \\
x(t)=\sin(t)+\sin(t/2)
\end{cases}
t \in (-2 \pi ,2 \pi )
}\)
a) obliczyć punkty przecięcie z osią OY
b) obliczyć max odległość od \(\displaystyle{ (0,0)}\)
c) obliczyć najmniejszy promień koła zawierającego wszystkie te figury

Próbowałam potraktować to, jak inne krzywe parametryczne i wyznaczyć \(\displaystyle{ t}\) z jednej i podstawić do drugiej, ale nie potrafię tego zrobić. Próbowałam wzoru na sumę sinusów/cosinusów, przekształcenia trygonometryczne z kąta podwójnego, ale nic to nie daje. Proszę o pomoc.

[Tmkk]

Próbowałam potraktować to, jak inne krzywe parametryczne i wyznaczyć t z jednej i podstawić do drugiej, ale nie potrafię tego zrobić.

Nie do końca rozumiem, ale wygląda, jakbyś próbowała to zrobić bez zastanowienia o co w ogóle jesteś pytana.

Tak czy inaczej, weźmy na przykład podpunkt a). Postać parametryczna, dla każdego \(\displaystyle{ t}\), przypisuje nam punkt \(\displaystyle{ (x(t),y(t))}\). Jakiej postaci są punkty, które spełniają warunek a)? Do jakiego równania się to sprowadza?

[matfanka]

Liczyłam to wcześniej również w ten sposób żeby podstawić x=0, potem z sumy sinusów i równanie trygonometryczne, ale uzyskałam takie wyniki:
\(\displaystyle{ \sin(t)+\sin(t/2)=0}\)
\(\displaystyle{ 2\sin\left( \frac{3t}{4}\right) \cos\left( \frac{t}{4}\right) =0}\)
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac{3t}{4}\right)=0 }\)
lub
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{t}{4}\right)=0 }\)
\(\displaystyle{ t=0 \vee t= \frac{4 \pi }{3} \vee t= \frac{8 \pi }{3} \vee t=2 \pi \vee t=6 \pi }\)
Te wyniki nie zgadzają mi się z tym, co narysowałam sobie w GeoGebrze, bo tam na wykresie są 3 punkty przecięcia. Dlatego uważam, że coś tu musi być źle.

[Tmkk]

Bardzo dobrze, ale tych rozwiązań będzie dużo więcej, np \(\displaystyle{ t = 4\pi}\) też działa, podobnie \(\displaystyle{ t = -1000\pi}\).

Z tym, że pamiętaj, że \(\displaystyle{ t \in (-2\pi, 2\pi)}\). Więc jak w pełni rozwiążesz te równanie, a potem wybierzesz te argumenty, które leżą w rozpatrywanym przedziale, to będą akurat \(\displaystyle{ 3}\) punkty przecięcia.

[matfanka]

OK, dziękuję. To jeszcze podpytam o kolejny podpunkt, bo nie jestem pewna. Maksymalna odległość od punktu (0,0).
Policzyłam tak:
\(\displaystyle{
d=\sqrt{(\sin(t)+\sin(t/2)) ^{2} +(\cos(t)+\cos(t/2)) ^{2} }
}\)
Ta funkcja będzie miała max, gdy wartość funkcji pod pierwiastkiem ma max. Czyli:
\(\displaystyle{
g(t)=\sin^{2}(t)+2\sin(t)\sin(t/2)+\sin^{2}(t/2)+\cos^{2}(t)+2\cos(t)\cos(t/2)+\cos^{2}(t/2)
}\)
z różnicy cosinusów:
\(\displaystyle{
g(t)=2+2\cos(t/2)
}\)
Potem liczę pochodną:
\(\displaystyle{
g'(t)=-\sin(t/2)=0
t=0 \vee t= 2 \pi \vee t=4 \pi \vee t=-2 \pi \vee t=-4 \pi
}\)

Podstawiłam te wartości i max otrzymuję d=2.
Czy to jest dobrze?
Czy w takim razie najmniejszy promień koła zawierający te figury będzie wynosił 2?

[Tmkk]

Znowu, rozwiązanie \(\displaystyle{ -\sin{(t/2)} = 0}\) ma dużo więcej rozwiązań, niż wypisałaś, ale ostatecznie tak, tak wychodzi.

Tutaj to już można było bez pochodnych - wiadomo, że cosinus nie przyjmuje wartości większych niż \(\displaystyle{ 1}\), a dla \(\displaystyle{ t=0}\) mamy \(\displaystyle{ \cos{(t/2)} = 1}\), więc to maksimum spod pierwiastkia musi wynosić \(\displaystyle{ 4}\).

Czy w takim razie najmniejszy promień koła zawierający te figury będzie wynosił 2?

Polecenie c) jest trochę niejasne - nie wiem o jakim środku ma być to koło i czym są te "wszystkie figury". Ale jeśli chodzi o koło o środku w \(\displaystyle{ 0}\) i "wszystkie figury" to ta krzywa z zadania, to tak, promień musi być \(\displaystyle{ 2}\).