Zad. na wyliczenie pola paraboli.

Velitus · Post autor: **Velitus** » 18 paź 2007, o 19:55

Witam,
Bardzo bym prosil o rozwiazanie i pewnie wytlumaczenie tego oto zadania:

W ukladzie wspolrzednych punkt \(\displaystyle{ (1,0)}\) polaczono odcinkiem z punktem \(\displaystyle{ (1,1)}\), punkt \(\displaystyle{ (2,0)}\) z \(\displaystyle{ (2,\frac{1}{2})}\), punkt \(\displaystyle{ (3,0)}\) z \(\displaystyle{ (3,\frac{1}{3})}\) itd., aż \(\displaystyle{ (2006,0)}\) połączono z \(\displaystyle{ (2006,\frac{1}{2006})}\). Ile wynosi pole najmniejszej figury wypukłej zawierającej wszystkie narysowane odcinki?

Jezeli sa jakies wzory na wyliczenie pola paraboli to bylbym chetny na zapoznanie sie z nimi.

Z góry dziękuję bardzo, ale to bardzo.

Pozdrawiam.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 19 paź 2007, o 15:59

Jak już byś chciał liczyć, to ale z użyciem hiperboli \(\displaystyle{ (f(x)=\frac{1}{x})}\), a nie paraboli, ale:

Velitus pisze:Ile wynosi pole najmniejszej figury wypukłej zawierającej wszystkie narysowane odcinki?

Tą figurą jest... trapez o wierzchołkach \(\displaystyle{ (1;0), \; (1;1),\; (2006;0),\;(2006;\frac{1}{2006})}\), a jego pole łatwo wyliczyć

Velitus · Post autor: **Velitus** » 19 paź 2007, o 18:02

Lorek pisze:Jak już byś chciał liczyć, to ale z użyciem hiperboli \(\displaystyle{ (f(x)=\frac{1}{x})}\), a nie paraboli, ale:
Velitus pisze:Ile wynosi pole najmniejszej figury wypukłej zawierającej wszystkie narysowane odcinki?
Tą figurą jest... trapez o wierzchołkach \(\displaystyle{ (1;0), \; (1;1),\; (2006;0),\;(2006;\frac{1}{2006})}\), a jego pole łatwo wyliczyć

Ale przeciez to nie trapez tylko parabola/hiperbola... to nie idzie prosto, tylko jest zakrzywione.

Jak to wyliczyc? Jakies wskazowki by mi sie przydaly.

Z gory dziekuje.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 19 paź 2007, o 19:56

Jeżeli to ma być figura wypukła, to to musi być trapez, dowód -> choćby fakt, że odcinek o końcach \(\displaystyle{ (1;1),\; (2006;\frac{1}{2006})}\) musi zawierać się w tej figurze (a przy okazji tworzy jej bok). Figura ograniczona z góry hiperbolą \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x}}\) nie jest figurą wypukłą (nie zawiera się w niej nasz odcinek). Jakbyś jednak chciał liczyć jej pole to tylko za pomocą odpowiedniej całki (wynik \(\displaystyle{ \ln 2006}\)).