Optymalizacja - funkcja będąca polem trójkąta

[Jmoriarty]

Dany jest okrąg o środku \(\displaystyle{ S}\) i promieniu \(\displaystyle{ 18.}\) Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku \(\displaystyle{ S _{1} }\) i
promieniu \(\displaystyle{ x}\) oraz drugi o środku \(\displaystyle{ S _{2} }\) i promieniu \(\displaystyle{ 2x}\), o których wiadomo, że spełniają
jednocześnie następujące warunki:
– rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
– obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie
– punkty: \(\displaystyle{ S}\), \(\displaystyle{ S _{1} }\),\(\displaystyle{ S _{3} }\) nie leżą na jednej prostej.
Pole trójkąta o bokach \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\) można obliczyć ze wzoru Herona.

Zapisz pole trójkąta \(\displaystyle{ SS_1S_2}\) jako funkcję zmiennej \(\displaystyle{ x }\). Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Także tak wygląda przydługie zadanie, które sprawiło mi problem. Oczywiście zrobiłem rysunek i wyznaczyłem pole tego trójkąta jako funkcję zmiennej \(\displaystyle{ x}\), które wynosi \(\displaystyle{ P(x)=x \sqrt{18-3x}}\); \(\displaystyle{ D:x \in (0;6)}\).
Potrzebuję teraz policzyć pochodną, aby wiedzieć gdzie funkcja rośnie i gdzie maleje - to mi pozwoli wyznaczyć minimum i maksimum lokalne. Tylko jak teraz obliczyć pochodną takiej funkcji? Wychodzą jakieś kosmiczne liczby. Nie mam pojęcia jak dalej ruszyć.

[kerajs]

Jak rozumiem, okręgi o środkach \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) są styczne zewnętrznie do siebie i wewnętrznie do okręgu o środku \(\displaystyle{ S}\) .
Wychodzi mi pole:
\(\displaystyle{ P(x)=6x \sqrt{18-3x}}\)
Pochodna jest dość prosta:
\(\displaystyle{ (6 \sqrt{3} x \sqrt{6-x})'_x= 6 \sqrt{3} ( \sqrt{6-x}+x \cdot \frac{-1}{2 \sqrt{6-x}} )=3 \sqrt{3} \cdot \frac{12-3x}{ \sqrt{6-x}}}\)

[Jmoriarty]

Faktycznie, pole wychodzi \(\displaystyle{ P(x)=6x \sqrt{18-3x} }\) i pochodna nie wychodzi taka ciężka do dalszych obliczeń, jak myślałem, jednakże widziałem inny sposób na sprawdzenie monotoniczności tej funkcji. Chciałbym poprosić o sprawdzenie poprawności mojego rozumowania.
Wprowadzamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=[P(x)] ^{2} }\) i liczymy z niej pochodną. Możemy to zrobić, ponieważ działając na funkcji \(\displaystyle{ P(x)}\), działamy tylko i wyłącznie w \(\displaystyle{ x}\)-ach i \(\displaystyle{ y}\)-grekach dodatnich, więc podniesienie jej do kwadratu nie zmieni jej znaku i monotoniczności w tym przedziale.
Tak więc otrzymujemy pochodną \(\displaystyle{ f'(x)=1296x-324x^{2}}\), która jest dodatnia w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0;4\right) }\) i ujemna w przedziale \(\displaystyle{ \left( 4;6\right)}\). Oznacza to, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=[P(x)]^{2}}\), jak i również \(\displaystyle{ P(x)}\) rosną w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0;4\right) }\) i maleją w przedziale\(\displaystyle{ \left( 4;6\right)}\), a rozwiązanie się już nasuwa samo.
Czy to rozumowanie jest poprawne?

[Premislav]

Tak, to jest jak najbardziej poprawne rozwiązanie.

Inaczej: z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:
\(\displaystyle{ 6x\sqrt{18-3x}=4\cdot \sqrt{\left(\frac{3}{2}x\right)^{2}(18-3x)}\le 4\sqrt{\left(\frac{\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}x+18-3x}{3}\right)^{3}}\\=4\cdot 6^{\frac{3}{2}}=24\sqrt{6}}\)
z równością dla \(\displaystyle{ \frac{3}{2}x=18-3x}\), czyli dla \(\displaystyle{ x=4}\).