Superwypukłość

[mol_ksiazkowy]

Czy istnieje funkcja rzeczywista taka, że \(\displaystyle{ \frac{f(x) + f(y)}{2} \geq f\left( \frac{x+y}{2}\right) + |x-y|}\) gdy \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\) ?

[Dasio11]

Załóżmy nie wprost, że taka funkcja istnieje. Niech \(\displaystyle{ \varphi(\alpha)}\) będzie formułą mówiącą, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\) zachodzi

\(\displaystyle{ f \left( \frac{x+y}{2} \right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2} - \alpha|x-y|}\).

Wykażemy, że \(\displaystyle{ \varphi(2^n)}\) jest prawdziwe dla każdego \(\displaystyle{ n}\), co łatwo prowadzi do sprzeczności. Prawdziwość \(\displaystyle{ \varphi(1)}\) dostajemy z założenia. Ustalmy \(\displaystyle{ \alpha \in \NN}\) i załóżmy, że zachodzi \(\displaystyle{ \varphi(\alpha)}\). Aby wykazać \(\displaystyle{ \varphi(2 \alpha)}\), ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\) i zauważmy że bez straty ogólności \(\displaystyle{ x < y}\). Niech \(\displaystyle{ (a, b, c, d, e)}\) będzie rosnącym ciągiem arytmetycznym o postępie \(\displaystyle{ \varepsilon = \frac{1}{4} |x-y|}\), takim że \(\displaystyle{ x=a, y=e}\). Z założenia indukcyjnego

\(\displaystyle{ \begin{align*}
f(c) & \le \frac{1}{2} f(b) + \frac{1}{2} f(d) - \alpha \cdot 2 \varepsilon \\
& \le \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} f(a) + \frac{1}{2} f(c) - \alpha \cdot 2 \varepsilon \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} f(c) + \frac{1}{2} f(e) - \alpha \cdot 2 \varepsilon \right) - \alpha \cdot 2 \varepsilon \\
& = \frac{1}{4} f(a) + \frac{1}{2} f(c) + \frac{1}{4} f(e) - \alpha \cdot 4 \varepsilon
\end{align*}}\)

czyli po przekształceniach

\(\displaystyle{ f \left( \frac{x+y}{2} \right) \le \frac{1}{2} f(x) + \frac{1}{2} f(y) - 2\alpha |x-y|}\)

a więc \(\displaystyle{ \varphi(2 \alpha)}\) jest prawdziwe.