Wyznaczanie funkcji odwrotnej dla danej funkcji z wartością bezwzględną

[janusz47]

Na forum przedstawiono następujące zadanie:

Proszę wyznaczyć wzór funkcji odwrotnej dla funkcji określonej wzorem:

\(\displaystyle{ f(x) = |x-1| - 1. }\)

Wykonujemy wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x) }\), przesuwając wykres funkcji \(\displaystyle{ g(x) = |x| }\) o wektor \(\displaystyle{ \vec{v} = [ 1, -1] }\) (rysunek).

Metoda pierwsza

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej liczby \(\displaystyle{ |x-1| }\) możemy zapisać wzór funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).

Wykres składa się z dwóch gałęzi - funkcji liniowych:

- gałęzi "lewej" o równaniu:

\(\displaystyle{ f_{1}(x) = -(x-1)-1 = -x }\) dla \(\displaystyle{ x < 1, }\)

- gałęzi "prawej" o równaniu:

\(\displaystyle{ f_{2}(x) = x-1 -1 = x -2 }\) dla \(\displaystyle{ x\geq 1 }\)

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} f_{1}(x) \\ f_{2}(x) \end{cases} = \begin{cases} -x \ \ \text{dla} \ \ x< 1 \\ x -2 \ \ \text{dla} \ \ x\geq 1 \end{cases} }\)

Dziedziną i przeciwdziedziną (zbiorem wartości) funkcji \(\displaystyle{ f(x) }\) są odpowiednio zbiory:

\(\displaystyle{ D(f) = \{ x\in \RR \}, }\)

\(\displaystyle{ R(f) = \{ y\in\RR: y\geq -1\}. }\)

Możemy wyznaczyć wzory funkcji odwrotnych dla każdej z gałęzi osobno.

\(\displaystyle{ y = - x }\)

\(\displaystyle{ x = - y | \cdot (-1) }\)

\(\displaystyle{ y = - x }\)

\(\displaystyle{ f^{-1}_{1}(x) = -x, \ \ x \geq -1 \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ y = x -2 }\)

\(\displaystyle{ x = y - 2 | + 2 }\)

\(\displaystyle{ x+ 2 = y }\)

\(\displaystyle{ f^{-1}_{2}(x) = x + 2, \ \ x\geq -1 \ \ (2) }\)

Z równań i nierówności \(\displaystyle{ (1), (2) }\) wynika, że

\(\displaystyle{ f^{-1}(x) = \begin{cases} f_{1}^{-1}(x) \\ f_{2}^{-1}(x) \end{cases} = \begin{cases} -x \ \ \text{dla} \ \ x \geq -1 \\ x +2 \ \ \text{dla} \ \ x \geq -1 \end{cases} }\)

Dziedziną funkcji odwrotnej jest zbiór

\(\displaystyle{ D(f^{-1}) = \{ x: \ \ x\in \RR, x\geq -1 \}.}\)

Zbiorem wartości

\(\displaystyle{ R(f^{-1}) = \{ y: \ \ y\in \RR \}. }\)

Wykonując wykresy funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ f^{-1}(x) }\) na jednym rysunku, możemy zauważyć się, że są one symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ y = x.}\)


Metoda druga

Piszemy wzór danej funkcji

\(\displaystyle{ f(x) = |x -1|- 1 }\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ f(x):= y }\)

\(\displaystyle{ y = |x - 1| - 1 }\)

Zamieniamy \(\displaystyle{ x \leftrightarrow y }\)

\(\displaystyle{ x = |y -1| -1 |+1 }\)

\(\displaystyle{ x + 1 = |y - 1| }\)

\(\displaystyle{ x +1 \geq 0, \ \ x \geq -1.}\)

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej liczby

\(\displaystyle{ \mp (x + 1) = y - 1 }\)

Z równania \(\displaystyle{ (1) }\) wyznaczamy kolejno \(\displaystyle{ y }\)

\(\displaystyle{ -(x +1) = y -1, }\)

\(\displaystyle{ y = -x -1 +1 = -x , \ \ x \geq -1 \ \ (3)}\)

\(\displaystyle{ x +1 = y - 1 }\)

\(\displaystyle{ y = x + 2, \ \ x\geq -1 \ \ (4) }\)

W równaniach \(\displaystyle{ (3), (4) }\) podstawiamy

\(\displaystyle{ y: = f^{-1}(x) }\)

Otrzymaliśmy taki sam wzór funkcji odwrotnej

\(\displaystyle{ f^{-1}(x) = \begin{cases} -x \ \ \text{dla} \ \ x \geq -1 \\ x +2 \ \ \text{dla} \ \ x\geq -1 \end{cases} }\).

[szw1710]

Ta funkcja nie jest różnowartościowa, a zatem nie posiada funkcji odwrotnej.

[janusz47]

Posiada, rozpatrując ją w poszczególnych przedziałach.

[Janusz Tracz]

Tak funkcja nie ma nawet określanej dziedziny i przeciwdziedziny, więc dyskusja czy funkcja odwrotna istnieje czy nie, jest pozbawione kontekstu w którym takie rozważania miały by sens.

[Jan Kraszewski]

Tym bardziej, że w tym zadaniu nie chodziło o znalezienie funkcji odwrotnej, tylko przeciwobrazu...

Posiada, rozpatrując ją w poszczególnych przedziałach.

To tak, jak z pytaniem, czy w Polsce można mieć równocześnie dwie żony. Zgodnie z prawem nie, bo bigamia jest zakazana. Ale z drugiej strony jak się to rozpatruje w poszczególnych przedziałach, to można - żoną Piotra od północy do południa jest Anastazja, a od południa do północy Kleopatra...

\(\displaystyle{ f^{-1}(x)=\begin{cases} -x \ \ \text{dla} \ \ x \geq -1 \\ x +2 \ \ \text{dla} \ \ x\geq -1 \end{cases}}\).

Ten "wzór" jest mocno bez sensu - nawet nie definiuje funkcji: mamy zgodnie z nim \(\displaystyle{ f^{-1}(0)=0}\) i \(\displaystyle{ f^{-1}(0)=2}\).

JK

PS No i tak

\(\displaystyle{ D(f) = \{ x\in \RR \}}\)

też nie wolno pisać.

[janusz47]

Z tytułu posta wynika, że piszącemu wyraźnie chodziło o wyznaczenie funkcji odwrotnej.

Czyżby na przykład Ci Panowie występujący na youtubie , którzy mają jedną żonę, może dwie, albo w ogóle nie mają żon też się mylili?

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=G8a5JI2FVRc

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=tVb0hG0rRQc

Ten zapis zbioru definiuje bezpośrednio własność przynależności do zbioru \(\displaystyle{ \RR }\) jest dopuszczalny, choć lepszy jest zapis, który też użyłem

\(\displaystyle{ \{x: \ \ x\in \RR\} }\).

Dodano po 21 minutach 19 sekundach:
Zadanie szkolne

Proszę wyznaczyć funkcje odwrotne dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^2 }\) w przedziałach \(\displaystyle{ (-\infty, 0) , \ \ [0 , \infty ).}\)

[Jan Kraszewski]

Z tytułu posta wynika, że piszącemu wyraźnie chodziło o wyznaczenie funkcji odwrotnej.

A z dalszej dyskusji wyraźnie wynikało, że nie rozumie oznaczeń.

Czyżby na przykład Ci Panowie występujący na youtubie , którzy mają jedną żonę, może dwie, albo w ogóle nie mają żon też się mylili?

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=G8a5JI2FVRc

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=tVb0hG0rRQc

YT jako wyrocznia dla matematyka to bardzo słaba sprawa.

Ten zapis zbioru definiuje bezpośrednio własność przynależności do zbioru \(\displaystyle{ \RR }\) jest dopuszczalny,

Nie jest.

choć lepszy jest zapis, który też użyłem

\(\displaystyle{ \{x: \ \ x\in \RR\} }\).

Ten zapis też jest słaby, ale ujdzie. A zapis, który jest najlepszy, to \(\displaystyle{ D(f)=\RR.}\)

Zadanie szkolne

Proszę wyznaczyć funkcje odwrotne dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^2 }\) w przedziałach \(\displaystyle{ (-\infty, 0) , \ \ [0 , \infty ).}\)

Na poziomie szkolnym pojęcie funkcji nie jest formalizowane (zazwyczaj utożsamia się funkcję ze wzorem), więc można formułować takie zadania. Gdybyś zatem potraktował to zadanie szkolnie i wyznaczał funkcję odwrotną do funkcji zadanej wzorem \(\displaystyle{ f(x) = |x-1| - 1}\) na przedziałach \(\displaystyle{ (-\infty, 1] , \ \ [1 , \infty )}\), to jakoś by to uszło, bo mamy do czynienia z dwiema różnymi funkcjami (jedną zadaną na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, 1]}\), a drugą na przedziale \(\displaystyle{ [1 , \infty )}\)), które są odwracalne (jak jeszcze dopasujemy im przeciwdziedziny), więc każdą z nich z osobna możesz odwrócić - inna sprawa, że są one liniowe, więc takie formułowanie zadania ma słaby sens.

Ale Ty na samym początku zadeklarowałeś, że rozważasz funkcję, zadaną wspomnianym wzorem, której dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych, co automatycznie wyklucza jakiekolwiek odwracanie, bo funkcja nie jest różnowartościowa. Nie ma czegoś takiego, jak odwracanie funkcji przedziałami - możesz tylko ograniczyć funkcję do zbioru, na którym jest ona różnowartościowa i tak ograniczoną (nową) funkcję odwrócić.

Ty tymczasem piszesz

Wykonując wykresy funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ \red{f^{−1}(x)}}\) na jednym rysunku, możemy zauważyć się, że są one symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\).

co jest edukacyjnym przestępstwem, bo sugerujesz, że funkcja może dla jednego argumentu przyjmować dwie różne wartości (a w praktyce jest pomyleniem funkcji odwrotnej z relacją odwrotną).

JK

[janusz47]

YT nie traktuje jako "wyroczni dla matematyka", ale też nie umniejszam jej roli w poznawaniu matematyki. Można znaleźć wiele dobrych wykładów między innymi i Twoich.

Jest wiele zapisów na oznaczenie zbiorów. Jedne częściej używane inne mniej, a inne w ogóle nie używane - niedopuszczalne. Zgadzam się , że zapis bez nawiasów \(\displaystyle{ Df = \RR }\) jest w tym przypadku najprostszy i najbardziej czytelny.

Zgadzam się też , że funkcja \(\displaystyle{ f }\) określona na całym zbiorze \(\displaystyle{ \RR }\) nie ma funkcji odwrotnej.

Uważam, że zacieśnienie (obcięcie) dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f }\) do dwóch rozłącznych przedziałów i określenie funkcji odwrotnych \(\displaystyle{ f_{1}^{-1}, f_{2}^{-1}}\) w każdym z tych przedziałów oraz narysowanie wykresów tych funkcji nie jest "edukacyjnym przestępstwem" .

[Jan Kraszewski]

Uważam, że zacieśnienie (obcięcie) dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f }\) do dwóch rozłącznych przedziałów i określenie funkcji odwrotnych \(\displaystyle{ f_{1}^{-1}, f_{2}^{-1}}\) w każdym z tych przedziałów oraz narysowanie wykresów tych funkcji nie jest "edukacyjnym przestępstwem" .

To nie jest, ale Ty zrobiłeś co innego - zauważ, że w Twym pierwszym poście nie ma \(\displaystyle{ f_{1}^{-1}, f_{2}^{-1}}\), tylko jest jedna funkcja \(\displaystyle{ f}\) z sugestią, że ma ona funkcję odwrotną \(\displaystyle{ f^{-1}}\), której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji wyjściowej względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\) (wzór sugeruje dokładnie to samo) - podczas gdy takie symetryczne odbicie daje krzywą, która jest typowym przykładem na krzywą, która nie może być wykresem funkcji.

Tak naprawdę procedura opisana w pierwszym poście to nie jest odwracanie funkcji, tylko odwracanie relacji.

JK

[szw1710]

Uważam, że zacieśnienie (obcięcie) dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f }\) do dwóch rozłącznych przedziałów i określenie funkcji odwrotnych \(\displaystyle{ f_{1}^{-1}, f_{2}^{-1}}\) w każdym z tych przedziałów oraz narysowanie wykresów tych funkcji nie jest "edukacyjnym przestępstwem" .

Tu mowa o dwóch różnych funkcjach. Funkcja to trójka: dziedzina, przeciwdziedzina i opis przyporządkowania elementom dziedziny elementów przeciwdziedziny. Toteż \(f\colon(-\infty,0]\to\RR\), \(f(x)=x^2\) oraz \(g\colon[0,\infty)\to\RR\), \(g(x)=x^2\), to dwie różne funkcje (dziedziny są inne). Nie można mówić, że zacieśniamy dziedzinę. Nie można kojarzyć funkcji z wzorem służącym do wyznaczania jej wartości. Tymczasem w szkole tak właśnie się robi. Dlatego tak ważny jest przedmiot Wstęp do matematyki.

[janusz47]

W takim razie można mówić o podziale dziedziny \(\displaystyle{ \RR }\) funkcji \(\displaystyle{ f }\)na dwie różne funkcje \(\displaystyle{ f_{1}(x), \ \ f_{2}(x) }\) które mają funkcje odwrotne.

[szw1710]

W takim razie można mówić o podziale dziedziny \(\displaystyle{ \RR }\) funkcji \(\displaystyle{ f }\)na dwie różne funkcje \(\displaystyle{ f_{1}(x), \ \ f_{2}(x) }\) które mają funkcje odwrotne.

Podział zbioru \(\RR\) nie na funkcje, ale na dwa podzbiory, na których rozważamy różne funkcje.