Własność złożenia funkcji odwrotnych

[mikesz1738]

Witam,

Pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są funkcjami różnowartościowymi i można je złożyć to \(\displaystyle{ \left(g \circ f \right) ^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1} }\)

Przyznam na wstępie, że jestem raczej raczkujący w tego tyu problemach. Poniżej przedstawię co udało mi się wywnioskować z treści.

Mamy dwie funkcje których dziedziny i zbiory wartości to pewne podzbiory zbioru \(\displaystyle{ \RR}\) co można zapisać jako \(\displaystyle{ f:X \rightarrow G}\) i \(\displaystyle{ g:H \rightarrow Y }\)

Można chyba dla uproszczenia założyć \(\displaystyle{ G=H}\) i wtedy dziedziną złożenia jest \(\displaystyle{ X}\) a zbiorem wartości \(\displaystyle{ Y}\) czyli \(\displaystyle{ \left( g\circ f\right) :X \rightarrow Y}\)

Jeśli mają istnieć do nich funkcje odwrotne to można założyć, że \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są funkcjami "na". Podobnie \(\displaystyle{ g\circ f}\) jest różnowartościowa (bo różnowartościowe są funkcje składowe) i jest funkcją "na" (przy takim określeniu funkcji składowych chyba jest to prawda) więc dla niej również istnieje funkcja odwrotna \(\displaystyle{ \left( g\circ f\right) ^{-1}: Y \rightarrow X }\)

Biorąc dowolny \(\displaystyle{ x \in X}\) można wyznaczyć dla niego wartość funkcji \(\displaystyle{ \left( g\circ f\right)\left( x\right) = y }\). Wynika z tego, że istnieje pewien element \(\displaystyle{ h \in H=G}\) taki, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) = h }\) i \(\displaystyle{ g\left( h\right) = y}\) co jest równoważne \(\displaystyle{ g\left( f\left( x\right) \right) = y = \left( g\circ f\right) \left( x\right) }\)

Z definicji funkcji odwrotnej mamy dla lewej strony badanej równości \(\displaystyle{ \left( g\circ f\right)^{-1}\left( y\right) = x }\)

Z kolei dla prawej strony \(\displaystyle{ \left( f ^{-1} \circ g ^{-1} \right)(y) = f ^{-1}\left( g ^{-1} (y)\right) }\) gdzie \(\displaystyle{ g ^{-1} (y) = h = f\left( x\right)}\) a więc \(\displaystyle{ f ^{-1}\left( f\left( x\right) \right) = x }\)

Tak więc faktycznie dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in X}\) i odpowiadającemu mu \(\displaystyle{ y=\left( g\circ f\right)\left( x\right)}\) mamy \(\displaystyle{ \left(g \circ f \right) ^{-1} (y)= \left( f^{-1}\circ g^{-1}\right) (y) }\)

Proszę o wskazanie błedów, luk czy nieścisłości w moim rozumowaniu.

Pozdrawiam,

Michał

[Janusz Tracz]

Ogólnie zamysł jest ok jednak nie pisał bym:

Mamy dwie funkcje których dziedziny i zbiory wartości to pewne podzbiory zbioru \(\displaystyle{ \RR}\)

bo to nie potrzebne uszczegółowianie. Te funkcje nie muszą być określone na podzbiorach \(\displaystyle{ \RR}\) to mogą być dowolne zbiory.

Jeśli mają istnieć do nich funkcje odwrotne to można założyć, że \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są funkcjami "na".

Tak. Ja osobiście napisał bym to na samym początku. O funkcjach \(\displaystyle{ f,g}\) zakładamy, że są równowartościowe choć potem w tezie posługujemy się funkcjami do nich odwrotnymi. To wymaga aby tak naprawdę \(\displaystyle{ f,g}\) było dodatkowo suriekcjami (na). Jednak o to łatwo zadbać wystarczy za ich przeciwdziedzinę brać obraz dziedziny. Wtedy na \(\displaystyle{ f}\) patrzymy jak na funkcję różnowartościową \(\displaystyle{ f:X \rightarrow f\left[ X\right] }\) (analogicznie z \(\displaystyle{ g}\)). Zmierzam jednak do tego, że \(\displaystyle{ f,g}\) to bijekcje (a jeśli nie to można tak zmienić przeciwdziedziny aby bijekcjami były).

Potem zauważył bym, że:

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \red{\left( g\circ f\right)} \circ \blue{\left( f^{-1}\circ g^{-1}\right)} =g\circ \left( f \circ f^{-1}\right) \circ g^{-1} =g \circ \text{id} \circ g^{-1}=g\circ g^{-1}=\text{id}}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \blue{\left( f^{-1}\circ g^{-1}\right)} \circ \red{\left( g\circ f\right)} =f^{-1}\circ \left( g^{-1} \circ g\right) \circ f =f^{-1} \circ \text{id} \circ f=f^{-1}\circ f=\text{id}}\)

Czyli faktycznie funkcje \(\displaystyle{ \red{ g\circ f}}\) i \(\displaystyle{ \blue{f^{-1}\circ g^{-1}}}\) są do siebie odwrotne. Czyli mamy tezę.

[mikesz1738]

Dziękuję za odpowiedź.

Trafna uwaga odnośnie przeciwdziedzin.

Samo uzasadnienie tezy to również dla mnie wyższy poziom - muszę je dokładnie przemyśleć z punktu widzenia samego podejścia do zagadnienia.

Wesołych Świąt!

[Janusz Tracz]

Abyś lepiej zrozumiał wcześniejszy post dodam jeszcze, że składanie funkcji jest łączne co jest chyba najważniejszą cechą składania. Oznacza to, że \(\displaystyle{ \left( f\circ g\right) \circ h = f\circ \left(g \circ h\right) }\). Dowód tego jest prosty i idzie wprost z definicji składania. Ustalamy \(\displaystyle{ x}\) i liczymy:

\(\displaystyle{ \left( \left( f\circ g\right) \circ h\right)\left( x\right) = \left( f\circ g\right) \left( h(x)\right)=f\left( g\left( h(x)\right) \right) }\)

\(\displaystyle{ \left( f\circ \left(g \circ h\right)\right)\left( x\right)= f\left( \left(g \circ h\right)\left( x\right) \right) = f\left( g\left( h(x)\right) \right) }\)

Zatem dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \left( \left( f\circ g\right) \circ h\right)\left( x\right) =\left( f\circ \left(g \circ h\right)\right)\left( x\right)}\) czyli faktycznie funkcje \(\displaystyle{ \left( f\circ g\right) \circ h = f\circ \left(g \circ h\right)}\) są sobie równe.

Wniosek: stawianie nawiasów w napisie \(\displaystyle{ f\circ g \circ h}\) nie ma znaczenia. Można nawiasy stawiać jak się chce zawsze wyjdzie to samo.

Uwaga: dowolność w stawianiu nawiasów nie oznacza możności zmiany kolejności w jakiej występują \(\displaystyle{ f,g,h}\) w napisie \(\displaystyle{ f\circ g \circ h}\)

stąd mogłem pozwolić sobie na takie żonglowanie nawisami w tym miejscu:

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \red{\left( g\circ f\right)} \circ \blue{\left( f^{-1}\circ g^{-1}\right)} =g\circ \left( f \circ f^{-1}\right) \circ g^{-1} =g \circ \text{id} \circ g^{-1}=g\circ g^{-1}=\text{id}}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \blue{\left( f^{-1}\circ g^{-1}\right)} \circ \red{\left( g\circ f\right)} =f^{-1}\circ \left( g^{-1} \circ g\right) \circ f =f^{-1} \circ \text{id} \circ f=f^{-1}\circ f=\text{id}}\)

Poza tym wydaje mi się, że w tym zadaniu lepiej skupić się na samej tezie, a nie na założeniach. Oczywiście założenia są konieczne ale treść zadanie jest dość sztuczna. Ja bym ją sformułował tak:

Niech \(\displaystyle{ f,g}\) będą funkcjami które mają funkcje odwrotne \(\displaystyle{ f^{-1},g^{-1}}\) pokaż, że: \(\displaystyle{ \left(g \circ f \right) ^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}}\)

Albo jeszcze inaczej

Niech \(\displaystyle{ f,g}\) będą bijekcjami \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ X}\) pokaż, że: \(\displaystyle{ \left(g \circ f \right) ^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}}\)

Jeśli nie jestem obyty z ze składaniem i odwrotnością mogą Cię niepokoić te długie napisy które pisałem wcześniej. Dlatego polecam również zauważyć, że tezę zadania można zapisać krótko wprowadzając pomocnicze funkcję. Przyjmiemy \(\displaystyle{ \phi= g \circ f}\) oraz \(\displaystyle{ \psi=f^{-1}\circ g^{-1}}\) do pokazania jest, że \(\displaystyle{ \phi^{-1}=\psi}\). A to można zrobić pokazując, że \(\displaystyle{ \phi \circ \psi=\text{id}}\) oraz \(\displaystyle{ \psi\circ\phi=\text{id}}\). Potem rachunek sprowadza się co prawda do tego co pisałem ale widać teraz dlaczego tak a nie inaczej było to liczone.

A ogólnie to zadanie jest znacznie głębsze bo dla dowolnej grupy \(\displaystyle{ \left( G,\odot \right) }\) zachodzi \(\displaystyle{ \left( a\odot b\right)^{-1}=b^{-1}\odot a^{-1} }\) czego dowodzi się identycznie jak w szczególnym przypadku powyżej. Za jednym zamachem udowadnia to całą serię wzorów typu \(\displaystyle{ \left( a\odot b\right)^{-1}=b^{-1}\odot a^{-1} }\) dla wszystkich grup. Na przykład jeśli weźmiemy grupę bijekcji \(\displaystyle{ S(X)}\) to dostaniemy tezę Twojego zadania. Jak weźmiemy \(\displaystyle{ G=\text{GL}\left( n,\CC\right) }\) grupę macierzy nieosobliwych z mnożeniem to dostajemy, że dla macierzy mamy wzór \(\displaystyle{ \left( AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1} }\). Jak weźmiemy grupę permutacji \(\displaystyle{ G=S_n}\) ze składaniem to też mamy wzór dla permutacji \(\displaystyle{ \left( \tau \circ \pi \right)^{-1}= \pi ^{-1}\circ \tau^{-1} }\) itd. Więc ten wzór jest jednym szczególnych przypadkiem ogólniej strukturalnej własności grup.

PS Dziękuję. Wzajemnie wszystkiego dobrego.