funkcja odwrotna

[Maradona126]

Cześć
Mam problem, z odwracaniem funkcji wykładniczej mógłby ktoś na tym przykładzie \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right)^{x}- \left( \frac{1}{2}\right)^{-x} }\) rozpisać schemat jak to się robi. Ps. Sprawdzone, że jest różnowartościowa. Z góry Dziękuję!

[a4karo]

Oznacz `y=2^{-x}-2^x` i wylicz stąd najpierw `2^x` (to jest równanie kwadratowe ze zmienną `2^x` a potem samo `x`

[Janusz Tracz]

Można zauważyć, że:

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right)^{x}- \left( \frac{1}{2}\right)^{-x}=2\sinh\left( x \cdot \ln \left( \frac{1}{2} \right) \right) =f(x)}\)

stąd od razu mamy, że odwrotną funkcją jest:

\(\displaystyle{ f^{-1}(x)= \frac{\text{arsinh} \left( \frac{x}{2} \right) }{\ln \left( \frac{1}{2} \right) } }\)

I jak się chce to można to nawet uprościć bo \(\displaystyle{ \text{arsinh} \left( x\right) =\ln \left( x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right) }\).