Hej,
Mam pytanie, czy jak funkcja jest nieparzysta to jest różnowartościowa? I czy jak funkcja jest parzysta to na pewno nie jest różnowartościowa?
I mam takie zadanie "Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{1+|x|} }\) jest różnowartościowa na swojej dziedzinie naturalnej i znajdź funkcję odwrotną. " Mam problem z wykazaniem i wyznaczeniem funkcji odwrotnej. Za każde dobre rozwiązanie serdecznie dziękuję!
Jan Kraszewski pisze: ↑13 gru 2020, o 22:38
A wstawiłeś i sprawdziłeś?
JK
No nie wiem jak to wykazać że funkcja jest różnowartościowa, może jakieś wskazówki albo rozwiązanie? Wiem, że to można zrobić jakoś x1 i x2 tylko przeszkadza mi tu ta wartość bezwzględna. Jestem nie pewny czy robię to dobrze.
Zauważ, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\) i \(\displaystyle{ f}\) rośnie dla \(\displaystyle{ x>0}\). Zatem, z nieparzystości, \(\displaystyle{ f}\) rośnie dla \(\displaystyle{ x<0}\). Ostatecznie rośnie w dziedzinie, czyli jest różnowartościowa i \(\displaystyle{ f\colon \mathbb{R}\to (-1;1)}\) \(\displaystyle{ y=f^{-1}(x)={x\over 1-|x|}\wedge x\in(-1;1)}\) (określiłem przedziałami i "skleiłem")
JHN pisze: ↑13 gru 2020, o 23:28
Zauważ, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\) i \(\displaystyle{ f}\) rośnie dla \(\displaystyle{ x>0}\). Zatem, z nieparzystości, \(\displaystyle{ f}\) rośnie dla \(\displaystyle{ x<0}\). Ostatecznie rośnie w dziedzinie, czyli jest różnowartościowa i \(\displaystyle{ f\colon \mathbb{R}\to (-1;1)}\) \(\displaystyle{ y=f^{-1}(x)={x\over 1-|x|}\wedge x\in(-1;1)}\) (określiłem przedziałami i "skleiłem")
