Iloczyn wartości

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Iloczyn wartości

Post autor: mol_ksiazkowy »

Dla jakich \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) jest \(\displaystyle{ f(x-y)f(y-z)f(z-x)= -8 }\) dla \(\displaystyle{ x, y, z \in \RR}\) ?
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 10 gru 2020, o 15:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Iloczyn wartości

Post autor: cmnstrnbnn »

Podstawiając \(\displaystyle{ x=y=z}\) wynika, że
\(\displaystyle{ \biggl(f(0)\biggr)^{3} = -8 \\ f(0)=-2}\)

Dla \(\displaystyle{ x=y \\ f(x-x)f(x-z)f(z-x)= -8 \\ f(0)f(x-z)f(z-x)=-8 \\ f(x-z)f(z-x)=4}\)

To teraz warto zauważyć, że dla a należącego do liczb rzeczywistych, oraz \(\displaystyle{ y=x+a, z=x-a}\), to wtedy zachodzi
\(\displaystyle{ f(x-x-a)f(x+a-x+a)f(x+a-x)=-8 \\ f(-a)f(2a)f(+a)=-8 \\ f(2a)=-2}\) więc dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ f(x)=-2}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Iloczyn wartości

Post autor: Dasio11 »

cmnstrnbnn pisze: 10 gru 2020, o 22:05To teraz warto zauważyć, że dla a należącego do liczb rzeczywistych, oraz \(\displaystyle{ y=x+a, z=x-a}\), to wtedy zachodzi
\(\displaystyle{ f(x-x-a)f(x+a-x+a)f(x \: {\color{red}+} \: a-x)=-8}\)
Tu jest błąd.
Awatar użytkownika
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Iloczyn wartości

Post autor: cmnstrnbnn »

Faktycznie

Teraz tego nie ogarnę, ale uważam, że z takiego podstawiania "na prostaka" powinien w końcu wyjść wynik
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Iloczyn wartości

Post autor: Dasio11 »

Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ