Uzasadnić równość z cechą i funkcją cyklometryczną

[mikesz1738]

Witam,

Proszę o pomoc w wykazaniu, że dla dowolnej liczby ze zbioru \(\displaystyle{ A = \RR \setminus \CC}\) (gdzie \(\displaystyle{ \CC}\) oznacza zbiór liczb całkowitych) zachodzi równość:

\(\displaystyle{ \left\lfloor x \right\rfloor = x - \frac{1}{\pi} \arcctg\ \left( \ctg\left( x \pi \right)\right) }\)

Udało mi się wymyślić tylko coś takiego:

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) to zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem wszystkich liczb całkowitych.

Dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ x \in A}\) można dobrać taką liczbę całkowitą \(\displaystyle{ k}\) żeby było \(\displaystyle{ k<x<k+1}\) - oznacza to, że

dobieram taką liczbę całkowitą \(\displaystyle{ k}\) żeby dana liczba \(\displaystyle{ x}\) znajdowała się pomiędzy liczbą \(\displaystyle{ k}\) i kolejną liczbą całkowitą (\(\displaystyle{ k+1}\))

Wówczas liczbę \(\displaystyle{ x}\) mogę zapisać jako sumę liczby \(\displaystyle{ k}\) i pewnej reszty \(\displaystyle{ r}\)

\(\displaystyle{ x =k+r}\) gdzie \(\displaystyle{ 0<r<1}\)

W związku z tym mamy \(\displaystyle{ \pi x = k \pi + \pi r}\)

Następnie korzystając z okresowości funkcji cotanges mogę napisać:

\(\displaystyle{ \ctg \left( \pi x\right) = \ctg \left( k \pi + \pi r\right) = \ctg \left( r\pi \right) }\)

Więc mogę następnie napisać:

\(\displaystyle{ \arcctg\ \left( \ctg\left( x \pi \right)\right) = \arcctg\ \left( \ctg\left( r \pi \right)\right)}\)

Teraz funkcja cotangens jest ograniczona do przedziału \(\displaystyle{ \left( 0, \pi\right) }\) więc korzystając z własności złożenia funkcji i jej odwrotnej mam:

\(\displaystyle{ \arcctg\ \left( \ctg\left( r \pi \right)\right)= r \pi }\)

Wracając do pierwszego równania:

\(\displaystyle{ \left\lfloor x \right\rfloor = x - \frac{1}{\pi} \arcctg\ \left( \ctg\left( x \pi \right)\right) = x - \frac{1}{\pi} r \pi = k+r-r = k }\) ale k to (jak wyżej założyłem) największa liczba całkowita mniejsza od \(\displaystyle{ x}\) czyli jej część całkowita \(\displaystyle{ \left\lfloor x \right\rfloor }\)

Pozdrawiam,

Michał

[Premislav]

Jest OK.

[mikesz1738]

Dziękuję za sprawdzenie