Witam,
Proszę o pomoc w wykazaniu, że dla dowolnej liczby ze zbioru \(\displaystyle{ A = \RR \setminus \CC}\) (gdzie \(\displaystyle{ \CC}\) oznacza zbiór liczb całkowitych) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \left\lfloor x \right\rfloor = x - \frac{1}{\pi} \arcctg\ \left( \ctg\left( x \pi \right)\right) }\)
Udało mi się wymyślić tylko coś takiego:
Zbiór \(\displaystyle{ A}\) to zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem wszystkich liczb całkowitych.
Dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ x \in A}\) można dobrać taką liczbę całkowitą \(\displaystyle{ k}\) żeby było \(\displaystyle{ k<x<k+1}\) - oznacza to, że
dobieram taką liczbę całkowitą \(\displaystyle{ k}\) żeby dana liczba \(\displaystyle{ x}\) znajdowała się pomiędzy liczbą \(\displaystyle{ k}\) i kolejną liczbą całkowitą (\(\displaystyle{ k+1}\))
Wówczas liczbę \(\displaystyle{ x}\) mogę zapisać jako sumę liczby \(\displaystyle{ k}\) i pewnej reszty \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ x =k+r}\) gdzie \(\displaystyle{ 0<r<1}\)
W związku z tym mamy \(\displaystyle{ \pi x = k \pi + \pi r}\)
Następnie korzystając z okresowości funkcji cotanges mogę napisać:
\(\displaystyle{ \ctg \left( \pi x\right) = \ctg \left( k \pi + \pi r\right) = \ctg \left( r\pi \right) }\)
Więc mogę następnie napisać:
\(\displaystyle{ \arcctg\ \left( \ctg\left( x \pi \right)\right) = \arcctg\ \left( \ctg\left( r \pi \right)\right)}\)
Teraz funkcja cotangens jest ograniczona do przedziału \(\displaystyle{ \left( 0, \pi\right) }\) więc korzystając z własności złożenia funkcji i jej odwrotnej mam:
\(\displaystyle{ \arcctg\ \left( \ctg\left( r \pi \right)\right)= r \pi }\)
Wracając do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ \left\lfloor x \right\rfloor = x - \frac{1}{\pi} \arcctg\ \left( \ctg\left( x \pi \right)\right) = x - \frac{1}{\pi} r \pi = k+r-r = k }\) ale k to (jak wyżej założyłem) największa liczba całkowita mniejsza od \(\displaystyle{ x}\) czyli jej część całkowita \(\displaystyle{ \left\lfloor x \right\rfloor }\)
Pozdrawiam,
Michał
Uzasadnić równość z cechą i funkcją cyklometryczną
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 5 cze 2020, o 12:02
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 5 cze 2020, o 12:02
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1 raz