Funkcyjne z kwadratem

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) jest \(\displaystyle{ 2xy f(x^2-y^2)= (x^2-y^2) f(x)f(2y)}\), gdy \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\) ?

[Premislav]

Oznaczmy nasze równanie przez \(\displaystyle{ (*)}\) dla uproszczenia zapisu.
Na wstępie łatwo widać, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\) (można np. wstawić \(\displaystyle{ x:=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ y:=\frac{1}{\sqrt{2}}}\) w naszym \(\displaystyle{ (*)}\)).
Niech teraz \(\displaystyle{ y> 0}\). Podstawmy w \(\displaystyle{ (*), \ x:=\sqrt{y^{2}+2y}}\), a otrzymamy
\(\displaystyle{ 2\sqrt{y^{2}+2y}yf(2y)=2yf\left(\sqrt{y^{2}+2y}\right)f(2y)\\ f(2y)\left(f\left(\sqrt{y^{2}+2y}\right)-\sqrt{y^{2}+2y} \right)=0 \ (\heartsuit)}\)

Rozważymy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ y_{0}>0}\) jest \(\displaystyle{ f(2y_{0})=0}\),
to podstawiając w \(\displaystyle{ (*), \ y:=y_{0}}\) dostajemy
\(\displaystyle{ 2xy_{0}f\left(x^{2}-y_{0}^{2}\right)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in \RR}\).
Zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ g(t)=t^{2}-y_{0}^{2}}\) jest \(\displaystyle{ \left[-y_{0}^{2}, +\infty\right)}\), zatem
\(\displaystyle{ f\equiv 0}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left[-y_{0}^{2}, +\infty\right) \ (\spadesuit)}\).
W szczególności \(\displaystyle{ f\left(\frac{1}{2}\right)=0}\), zatem kładąc w \(\displaystyle{ (*), \ x:=\frac{1}{2}}\), mamy
\(\displaystyle{ yf\left(\frac{1}{4}-y^{2}\right)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ y\in \RR}\).
Ponieważ dla \(\displaystyle{ y\in\RR}\) zbiorem wartości \(\displaystyle{ h(y)=\frac{1}{4}-y^{2}}\) jest \(\displaystyle{ \left(-\infty, \frac{1}{4}\right]}\), więc \(\displaystyle{ f\equiv 0}\) na tym przedziale; łącząc to ze \(\displaystyle{ (\spadesuit)}\), dostajemy \(\displaystyle{ f\equiv 0}\) na \(\displaystyle{ \RR}\).

\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ (\forall y>0)f(2y)\neq 0}\). Wtedy równanie
\(\displaystyle{ (\heartsuit)}\) prowadzi do tego, że dla każdego \(\displaystyle{ y>0}\) jest
\(\displaystyle{ f\left(\sqrt{y^{2}+2y}\right)=\sqrt{y^{2}+2y}}\),
a zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ \kappa(t)=\sqrt{t^{2}+2t}, \ t>0}\) jest \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\) (dowód pomijam, bo jest prosty).
Zatem dla każdego \(\displaystyle{ x>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=x}\).

Teraz ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x<0}\), dobierzmy takie \(\displaystyle{ y>0}\), że \(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}>0}\), np. \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}x}\) i wstawmy to do \(\displaystyle{ (*)}\), a po poskracaniu niezerowych czynników otrzymamy \(\displaystyle{ f(x)=x}\).

Podsumowanie: rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ (*)}\) są \(\displaystyle{ f(x)\equiv 0, \ f(x)=x}\).