Funkcje różnowartościowe

[mela1015]

Wyznaczyć wszystkie funkcje różnowartościowe \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\), które spełniają równanie funkcyjne
\(\displaystyle{ f(f(x)+y)=f(x+y)+1}\) dla \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}\)

Ma ktoś jakiś pomysł? Nie wiem jak się do tego zabrać.

[szw1710]

Dla \(y=-x\) mamy \(f\bigl(f(x)-x\bigr)=f(0)+1\) dla każdego \(x\). Biorąc teraz \(x=y=0\) mamy \(f\bigl(f(0)\bigr)=f(0)+1\). Łączymy te dwie informacje dostając, że dla każdego \(x\) jest \[f\bigl(f(x)-x\bigr)=f\bigl(f(0)\bigr),\] skąd, wobec różnowartościowości, mamy \(f(x)-x=f(0)\), skąd \(f(x)=x+f(0).\) Żeby taka funkcja spełniała równanie, musi być \(f(0)=1.\) Ostatecznie \(f(x)=x+1.\)

[mela1015]

dlaczego musimy podstawić za \(\displaystyle{ y=-x}\)?

[szw1710]

Nic nie musimy. Robimy tak, żeby wyszło ładne rozumowanie.

Równania funkcyjne w tym wydaniu nie niosą jakiejś większej wiedzy matematycznej, a ich rozwiązywanie to sztuka znajdowania odpowiednich podstawień. Rozważane równanie należy do równań funkcyjnych o wielu zmiennych (bo występują w nim \(x,y\)). Jednak już moje podstawienie \(y=-x\) sprowadza równanie do równania o jednej zmiennej. Tak więc tak jak ta cała pandemia, równania o wielu zmiennych to wielki pic na wodę.

Nawet zwykłe równanie Cauchy'ego \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) rozwiązuje się metodami właściwymi równaniom o jednej zmiennej.

Dodano po 1 dniu 8 minutach 3 sekundach:
Jest jeszcze prostsze rozwiązanie: wstawiając w wyjściowym równaniu \(y=0\) oraz \(z=f(x)\), otrzymamy od razu \(f(z)=z+1\), a teraz łatwo sprawdzamy, że funkcja dana tym wzorem spełnia nasze równanie. Nawet dało się obejść różnowartościowość.

[a4karo]

Nie dało się. Pisząc `x=f(z) ` wykorzystujesz ten fakt, a dodatkowo chcesz, żeby byla "na"

[szw1710]

Zauważyłeś. Myślałem o rozszerzeniu poza obraz. To trzeba by tam formalnie zrobić.