funkcyjne z pierwiastkiem

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ f: (0, +\infty) \to \RR}\) jest \(\displaystyle{ f(x) + f(y) = \left( \sqrt{ \frac{x}{y} }+ \sqrt{ \frac{y}{x} }\right) f( \sqrt{xy} )}\) dla \(\displaystyle{ x, y >0}\) ?

[Slup]

To będzie szkicowe w jednym miejscu.

Niech \(\displaystyle{ c = f(1)}\). Ustalmy \(\displaystyle{ x > 0}\) oraz liczbę naturalną \(\displaystyle{ n\geq 1}\). Kładziemy \(\displaystyle{ a_n = f(x^n)}\). Podstawiając \(\displaystyle{ x:=x^{n+1},\,y:=x^{n-1}}\) otrzymujemy
$$f(x^{n+1}) + f(x^{n-1}) = \frac{x^{n+1} + x^{n-1}}{x^n}f(x^n)$$
czyli
$$a_{n+1} = \bigg(x+\frac{1}{x}\bigg)a_n - a_{n-1}$$
Rozwiązaniem ogólnym tej rekurencji liniowej jest \(\displaystyle{ a_n = A(x)x^n + \frac{B(x)}{x^n}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ A(x),B(x)\in \mathbb{R}}\). Wiemy też, że
$$c= f(1) = a_0 = A(x) + B(x)$$
czyli
$$f(x^n) = A(x)\bigg(x^n-\frac{1}{x^n}\bigg) + \frac{C}{x^n}$$
dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\). Powyższa równość zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ x>0}\).

Teraz ustalmy różne liczby dodatnie \(\displaystyle{ x,y\neq 1}\). Podstawmy do równości w sformułowaniu zadania \(\displaystyle{ x:= x^n,\,y:=y^n}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\). Otrzymamy
$$f(x^n) + f(y^n) = \frac{x^n + y^n}{\sqrt{x^ny^n}}f(\sqrt{x^ny^n})$$
Zatem
$$A(x)\bigg(x^n-\frac{1}{x^n}\bigg) + \frac{c}{x^n} + A(y)\bigg(y^n-\frac{1}{y^n}\bigg) + \frac{c}{y^n} = \frac{x^n + y^n}{\sqrt{x^ny^n}}\cdot A(\sqrt{xy})\bigg(\sqrt{x^ny^n} - \frac{1}{\sqrt{x^ny^n}} \bigg) + \frac{x^n + y^n}{\sqrt{x^ny^n}}\cdot \frac{c}{\sqrt{x^ny^n}}$$
co po uproszczeniach daje równanie
$$A(x)\bigg(x^n-\frac{1}{x^n}\bigg) + A(y)\bigg(y^n-\frac{1}{y^n}\bigg) = A(\sqrt{xy})\bigg(x^n-\frac{1}{x^n}+ y^n-\frac{1}{y^n}\bigg)$$
prawdziwe dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\). Oznaczmy to równanie przez \(\displaystyle{ R_n}\). Mamy nieskończony układ równań liniowych
$$R_0,R_1,...,R_n,...$$
z trzema niewiadomymi \(\displaystyle{ A(x),A(y),A(\sqrt{xy})}\) i o współczynnikach postaci
$$\bigg(x^n-\frac{1}{x^n}\bigg),\bigg(y^n-\frac{1}{y^n}\bigg),\bigg(x^n-\frac{1}{x^n}+ y^n-\frac{1}{y^n}\bigg)$$
Rozwiązaniem tego układu równań liniowych (i to jest właściwie miejsce, gdzie ten argument jest szkicowy) jest
$$A(x) = A(y) = A(\sqrt{xy})$$
co wynika z faktu, że \(\displaystyle{ x,y\neq 1}\). Zatem udowodniliśmy, że \(\displaystyle{ A(x) = A(y)}\) dla \(\displaystyle{ x \neq y}\) dodatnich i różnych od \(\displaystyle{ 1}\). Stąd istnieje \(\displaystyle{ A\in \mathbb{R}}\) taka, że \(\displaystyle{ A(x) = A}\) dla każdego \(\displaystyle{ x>0}\) różnego od \(\displaystyle{ 1}\). Ostatecznie więc
$$f(x) = A\bigg(x-\frac{1}{x}\bigg) + \frac{c}{x}$$
dla każdego \(\displaystyle{ x\neq 1}\). Ponadto ta równość działa dla też dla \(\displaystyle{ x=1}\), bo \(\displaystyle{ c = f(1)}\). Zatem
$$f(x) \equiv A\bigg(x-\frac{1}{x}\bigg) + \frac{c}{x}$$
i jak łatwo sprawdzić każda funkcja tej postaci spełnia zależność w sformułowaniu zadania.