Funkcja na szeregu

[zajer]

Dzień dobry

Potrzebuję zdefiniować funkcję, która przypisuje szeregowi* liczbę elementów z jakich się on składa.
Problem stanowi dla mnie notacja, chociaż obawiam się, że to co ja nazywam szeregiem może mieć zupełnie inną nazwę w matematyce.

Do rzeczy:
Niech \(\displaystyle{ K_x = c_1 + \dots + c_m = \sum_{i=1}^{m} c_i , c_i \in A, x\in \mathbb{N} }\) oznacza szereg, którego elementy należą do jakiegoś zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Potrzebuję funkcji, która zwraca liczbę elementów tego szeregu. Coś w stylu \(\displaystyle{ f(K_x)\in \mathbb{N}, x\in \mathbb{N} }\). Jest jakiś sposób na zapisanie definicji takiej funkcji? Czy może sposób, który zaproponowałem jest akceptowalny?

* W definicjach szeregu, które znalazłem, liczba elementów jest nieskończona ale mnie interesuje konkretnie taki obiekt gdzie liczba elementów jest skończona (może być równa 0).

[Jan Kraszewski]

Nie jest akceptowalny. Musisz zacząć od jednoznacznego zdefiniowania "szeregu". W tym momencie wygląda to na skończoną sumę, co sprawia, że nie mamy szans na konieczną jednoznaczność. Przecież \(\displaystyle{ 1+1+1+1=1+2+1=2+2=4}\) i masz ten sam "szereg", zapisany na cztery różne sposoby, z których każdy daje inną wartość "funkcji".

JK

[zajer]

Dziękuję za odpowiedź!

Na wstępie zaznaczę, że nie polemizuję z potrzebą zdefiniowania mojego "szeregu".
Małe sprostowanie, oczekiwanym przeze mnie wynikiem "funkcji" \(\displaystyle{ f(K_s) }\) byłaby liczba elementów a nie ich suma tj. :
Dla \(\displaystyle{ K_1 = 1+1+1+1 ,K_2 = 1 + 2 +1, K_3 = 2+ 2, K_4 = 7 + 7 + 7+ 7 }\) wartości zwracane przez funkcję \(\displaystyle{ f(K_s) }\) byłby następujące:
- \(\displaystyle{ f(K_1) = 4 }\)
- \(\displaystyle{ f(K_2) = 3 }\)
- \(\displaystyle{ f(K_3) = 2 }\)
- \(\displaystyle{ f(K_4) = 4 }\)
Jednocześnie chciałbym zaznaczyć, że jednakowe wyniki dla \(\displaystyle{ f(K_1) }\) i \(\displaystyle{ f(K_4) }\) są dla mnie akceptowalne.

Czy przy powyższych uwagach nadal uważa Pan, że zapis \(\displaystyle{ f(K_x)\in \mathbb{N} }\) jest niewystarczający?

[Jan Kraszewski]

Na wstępie zaznaczę, że nie polemizuję z potrzebą zdefiniowania mojego "szeregu".
Małe sprostowanie, oczekiwanym przeze mnie wynikiem "funkcji" \(\displaystyle{ f(K_s) }\) byłaby liczba elementów a nie ich suma tj. :
Dla \(\displaystyle{ K_1 = 1+1+1+1 ,K_2 = 1 + 2 +1, K_3 = 2+ 2, K_4 = 7 + 7 + 7+ 7 }\) wartości zwracane przez funkcję \(\displaystyle{ f(K_s) }\) byłby następujące:
- \(\displaystyle{ f(K_1) = 4 }\)
- \(\displaystyle{ f(K_2) = 3 }\)
- \(\displaystyle{ f(K_3) = 2 }\)
- \(\displaystyle{ f(K_4) = 4 }\)

To oznacza, że nie interesują Cię żadne "szeregi", tylko po prostu skończone ciągi. To, że sumujesz ich wyrazy nie ma tutaj żadnego znaczenia.

Jednocześnie chciałbym zaznaczyć, że jednakowe wyniki dla \(\displaystyle{ f(K_1) }\) i \(\displaystyle{ f(K_4) }\) są dla mnie akceptowalne.

Problem nie polega na tym, że masz jednakowe wyniki, problem polegał na tym, że dla tych samych sum otrzymywałeś różne wyniki (przy Twoim zapisie \(\displaystyle{ K_1=K_2=K_3}\)). No ale wyjaśniło się, że tak naprawdę nie interesują Cię sumy.

Czy przy powyższych uwagach nadal uważa Pan, że zapis \(\displaystyle{ f(K_x)\in \mathbb{N} }\) jest niewystarczający?

Oczywiście, przecież ten zapis nie niesie żadnej konkretnej informacji o wartości funkcji, ergo nie definiuje funkcji.

A funkcją jest po prostu długość ciągu.

Może określiłbyś jakiś kontekst swojego pytania?

JK

[zajer]

Może określiłbyś jakiś kontekst swojego pytania?

Staram się opisać pewną zależność dla grafów skierowanych*. W tym celu chcę wykorzystać coś a'la funkcje tworzące (ale z ograniczoną liczbą elementów w szeregu, stąd m.in. moje inklinacje do nazywania sumy kilku elementów szeregiem).
Zaznaczę jeszcze, że te "ograniczone szeregi" byłyby dwóch rodzajów, nazwijmy je \(\displaystyle{ K_s = c_1+...+c_m }\) i \(\displaystyle{ F_{i,j}(x) = \sum_{k \in T_{i,j} } f_k (x) }\). Zbiór \(\displaystyle{ T_{i,j} }\) składa się funkcji, których dziedziną jak i zbiorem wartości jest zbiór, którego elementami są elementy szeregu typu \(\displaystyle{ K_s }\).
Potrzebuję wprowadzić operację splotu takich "szeregów".
W tej chwili definicja splotu, którego wynik spełnia moje potrzeby jest następująca (pozwolę sobie przyjąć, że funkcja \(\displaystyle{ f(K_s) }\) jest zrozumiała i akceptowalna na potrzeby przedstawienia kontekstu):
\(\displaystyle{ K_s \circ F_{i,j}(x) = \sum_{k\in T_{i,j}} \sum_{l=1}^{f(K_s)} f_k(c_l) }\)

Dzięki powyższemu jestem w stanie wyznaczyć nowy "szereg" typu \(\displaystyle{ K_s }\).

*W rzeczywistości są to GS z "nadbudową" ale pozwolę sobie pominąć cały obraz.