Monotoniczność funkcji z definicji

[qwerty355]

Mam problem z następującym zadaniem:
Korzystając z definicji zbadać monotoniczność funkcji: \(\displaystyle{ f(x) = \frac{2-x}{x} , x \in \RR \setminus \left\{ 0 \right\} }\)
Zacząłem w następujący sposób:
Niech \(\displaystyle{ x_1, x_2 \in \RR \setminus \left\{ 0 \right\} }\) oraz \(\displaystyle{ x_1< x_2 }\)
\(\displaystyle{ f(x_1) - f(x_2) = \frac{2 - x_1}{x_1} - \frac{2 - x_2}{x_2} = \frac{x_2(2 - x_1) - x_1(2 - x_2)}{x_1x_2} = \frac{2x_2 - 2x_1}{x_1x_2} = \frac{-2(x_1 - x_2)}{x_1x_2} }\)
Aby określić monotoniczność korzystając z definicji, powinienem określić najpierw, czy \(\displaystyle{ f(x_1) - f(x_2)}\) jest (nie)dodatnie / (nie)ujemne.
\(\displaystyle{ x_1 - x_2 }\) jest liczbą ujemną, ponieważ \(\displaystyle{ x_1 < x_2 }\). W liczniku otrzymam więc iloczyn dwóch liczb ujemnych, czyli liczbę dodatnią. Nie wiem natomiast, w jaki sposób określić znak mianownika \(\displaystyle{ x_1x_2 }\), ponieważ iloczyn dwóch liczb rzeczywistych bez 0 może być zarówno dodatni, jak i ujemny. W jaki sposób mogę określić monotoniczność tej funkcji?

[Janusz Tracz]

Próbujesz pokazać monotoniczność i nie wychodzi. To może spróbuj pokazać, że ta funkcja nie jest monotoniczna.

[qwerty355]

Dla \(\displaystyle{ x_1, x_2 \in \RR }\) może zachodzić zarówno \(\displaystyle{ f(x_1) > f(x_2) }\), jak i \(\displaystyle{ f(x_1) < f(x_2) }\), zatem funkcja nie jest monotoniczna. Czy wystarczy to zapisać w ten sposób, czy trzeba to udowodnić jakoś inaczej?

[Janusz Tracz]

Tak ale gdy wypowiadasz to bez kwantyfikatorów to trudno mi powiedzieć czy na pewno się rozumiemy. Monotoniczności zakłada, że dla każdej pary bala bala bala zatem chcąc pokazać zaprzeczenie wystarczy pokazać jakąś konkretną parę będącą świadkiem istnienia, że zachodzi coś przeciwnego. W Twoim przypadku aby pokazać brak monotoniczności musisz pokazać parę \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) która zaprzeczy temu, że funkcja jest rosnąca, a potem jeszcze inną parę która zaprzeczy, że funkcja jest malejąca. Ale mogą to być konkretne liczby wybrane z \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ 0\right\} }\).

[qwerty355]

Rozumiem. Dziękuję za pomoc.

[Jan Kraszewski]

Ale mogą to być konkretne liczby wybrane z \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ 0\right\} }\).

To powinny być konkretne liczby wybrane z \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ 0\right\} }\).

JK