Matematyka.pl

Mamy dowolną funkcję, czyli:
\(\displaystyle{ y = f(x)}\)

i teraz zadanie:
znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f}\), które spełniają warunek inwersji:

\(\displaystyle{ \frac{1}{y} = f\left( \frac{1}{x}\right)}\)

........

najprostszym przykładem jest oczywiście: \(\displaystyle{ f(x) = y = x}\), bo wtedy mamy faktycznie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{y} = \frac{1}{x} = f\left( \frac{1}{x}\right)}\)

Ale mam drugi przykład - ciekawszy:

\(\displaystyle{ y = \frac{x + a}{1 + ax} = f(x)}\)

dla argumentu \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{x} + a}{1 + \frac{a}{x}} = \frac{1 + ax}{x + a} = \frac{1}{y}}\)

Co to w ogóle za rodzaj funkcji - ma to jakąś nazwę?

Jaka jest dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f}\)?

Dziedzina `D` takiej funkcji musi spełniać warunek
(*) `x\in D \Rightarrow 1/x\in D`

Niech `D` będzie dowolnym takim zbiorem.

Niech `f` będzie dowolną funkcją określoną na zbiorze `B=D \cap ([-1,0)\cup(0,1])` spełniającą następujące warunki:
(1) `x\in B \Rightarrow f(x)\ne 0`
(2) `1\in B \Rightarrow f(1)=\pm 1`
(3) `-1\in B \Rightarrow f(-1)=\pm 1`

Każda taka funkcja może być przedłużona jednoznacznie do funkcji spełniającej warunek inwersji na całym zbiorze `D`