Mamy dowolną funkcję, czyli:
\(\displaystyle{ y = f(x)}\)
i teraz zadanie:
znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f}\), które spełniają warunek inwersji:
\(\displaystyle{ \frac{1}{y} = f\left( \frac{1}{x}\right)}\)
........
najprostszym przykładem jest oczywiście: \(\displaystyle{ f(x) = y = x}\), bo wtedy mamy faktycznie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{y} = \frac{1}{x} = f\left( \frac{1}{x}\right)}\)
Ale mam drugi przykład - ciekawszy:
\(\displaystyle{ y = \frac{x + a}{1 + ax} = f(x)}\)
dla argumentu \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{x} + a}{1 + \frac{a}{x}} = \frac{1 + ax}{x + a} = \frac{1}{y}}\)
Co to w ogóle za rodzaj funkcji - ma to jakąś nazwę?
Funkcja które spełniają warunek inwersji
-
- Użytkownik
- Posty: 971
- Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 75 razy
Funkcja które spełniają warunek inwersji
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2020, o 22:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj wzorów w temacie posta. Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Nie używaj wzorów w temacie posta. Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Funkcja które spełniają warunek inwersji
Dziedzina `D` takiej funkcji musi spełniać warunek
(*) `x\in D \Rightarrow 1/x\in D`
Niech `D` będzie dowolnym takim zbiorem.
Niech `f` będzie dowolną funkcją określoną na zbiorze `B=D \cap ([-1,0)\cup(0,1])` spełniającą następujące warunki:
(1) `x\in B \Rightarrow f(x)\ne 0`
(2) `1\in B \Rightarrow f(1)=\pm 1`
(3) `-1\in B \Rightarrow f(-1)=\pm 1`
Każda taka funkcja może być przedłużona jednoznacznie do funkcji spełniającej warunek inwersji na całym zbiorze `D`
(*) `x\in D \Rightarrow 1/x\in D`
Niech `D` będzie dowolnym takim zbiorem.
Niech `f` będzie dowolną funkcją określoną na zbiorze `B=D \cap ([-1,0)\cup(0,1])` spełniającą następujące warunki:
(1) `x\in B \Rightarrow f(x)\ne 0`
(2) `1\in B \Rightarrow f(1)=\pm 1`
(3) `-1\in B \Rightarrow f(-1)=\pm 1`
Każda taka funkcja może być przedłużona jednoznacznie do funkcji spełniającej warunek inwersji na całym zbiorze `D`