Suma sinusów

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ M>0 }\) istnieje \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) taka, że \(\displaystyle{ |f(x+y) + \sin(x) +\sin(y) | < M}\) gdy \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\) ?

[a4karo]

Dla wszystkich : `f(x+y) =-\sin x-\sin y`

[mol_ksiazkowy]

Czy takie \(\displaystyle{ f}\) istnieje ...?

[Jan Kraszewski]

Dla wszystkich : `f(x+y) =-\sin x-\sin y`

Hmmm... A co oznacza ten wzór?

\(\displaystyle{ f(\pi)=f\left( \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}=-2}\)

\(\displaystyle{ f(\pi)=f(\pi+0)=-\sin\pi-\sin 0=0}\)

JK

[a4karo]

Sorry, faktycznie nie jest to funkcja jednej zmiennej

[Dasio11]

Opisana funkcja istnieje dokładnie dla \(\displaystyle{ M > 2}\).

Istotnie: dla \(\displaystyle{ M > 2}\) łatwo widać, że funkcja \(\displaystyle{ f \equiv 0}\) spełnia żądany warunek. Z drugiej strony jeśli szukana funkcja \(\displaystyle{ f}\) istnieje, to podstawiając do warunku \(\displaystyle{ \textstyle x = y = \frac{\pi}{2}}\) i \(\displaystyle{ \textstyle x = -\frac{\pi}{2}, y = \frac{3 \pi}{2}}\) dostajemy odpowiednio \(\displaystyle{ |f(\pi) + 2| < M}\) i \(\displaystyle{ |f(\pi)-2| < M}\). Dodajemy stronami i korzystamy z nierówności trójkąta:

\(\displaystyle{ 4 = |(2+f(\pi)) + (2-f(\pi))| \le |2+f(\pi)| + |2-f(\pi)| < 2M}\),

a stąd \(\displaystyle{ M > 2}\), tak jak chcieliśmy.