Czy suma funkcji okresowych jest funkcją okresową?

[janusz47]

W celu uproszczenia rozważań będziemy zajmować się tylko funkcjami rzeczywistymi określonymi na całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Przy tym założeniu funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest okresowa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje różna od zera liczba rzeczywista \(\displaystyle{ \alpha }\) taka, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in \RR }\)

\(\displaystyle{ f(x+\alpha) = f(x). }\)

Każdą taką liczbę \(\displaystyle{ \alpha }\) nazywamy okresem funkcji \(\displaystyle{ f. }\) Najmniejszy dodatni okres funkcji nazywamy okresem podstawowym (zasadniczym) tej funkcji.

Jeżeli liczba \(\displaystyle{ \alpha }\) jest okresem funkcji \(\displaystyle{ f,}\) to również liczba \(\displaystyle{ m\cdot \alpha }\) gdzie \(\displaystyle{ m }\) jest liczbą całkowitą różną od zera jest okresem funkcji \(\displaystyle{ f. }\)

Jeżeli ponadto liczba \(\displaystyle{ \alpha }\) jest okresem podstawowym funkcji \(\displaystyle{ f, }\) to każdy inny okres jest całkowitą wielokrotnością okresu podstawowego.

Niech liczba \(\displaystyle{ \omega }\) będzie takim okresem funkcji \(\displaystyle{ f, }\) który nie jest całkowitą wielokrotnością okresu podstawowego \(\displaystyle{ \alpha. }\)

Istnieje wówczas liczba całkowita \(\displaystyle{ n }\) taka, że

\(\displaystyle{ n\alpha < \omega < (n+1)\alpha }\)

skąd

\(\displaystyle{ 0< \omega - n\alpha < \alpha .}\)

Liczba \(\displaystyle{ \omega - n\alpha }\) jako różnica okresów funkcji \(\displaystyle{ f }\) byłaby okresem tej funkcji, co nie jest możliwe, bo byłby to okres dodatni mniejszy od okresu podstawowego.

Pytanie podstawione w tytule pojawia się w sposób naturalny w związku z funkcjami, które otrzymujemy wykonując pewne operacje na funkcjach trygonometrycznych.

Czy na przykład suma funkcji okresowych \(\displaystyle{ f(x) = \sin(ax), \ \ g(x) = \cos(bx) }\) jest funkcją okresową? Jeżeli \(\displaystyle{ a }\) i \(\displaystyle{ b }\) są liczbami wymiernymi różnymi od zera, to odpowiedź na to pytanie jest pozytywna.

Można sprawdzić wtedy, że każdy okres funkcji \(\displaystyle{ f }\) jest współmierny z każdym okresem funkcji \(\displaystyle{ g, }\) to znaczy stosunek tych okresów jest liczbą wymierną. Suma takich funkcji jest funkcją okresową, bo prawdziwe jest twierdzenie:

Jeżeli funkcje \(\displaystyle{ f }\) i \(\displaystyle{ g }\) są takimi funkcjami, że istnieją dla nich odpowiednio okresy \(\displaystyle{ \alpha, \beta, }\) to funkcja \(\displaystyle{ h = f + g }\) jest funkcją okresową.

Mamy wtedy \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{\beta} = \frac{m}{n}, }\) gdzie \(\displaystyle{ m }\) i \(\displaystyle{ n }\) są różnymi od zera liczbami całkowitymi
Liczba \(\displaystyle{ n\alpha = m\beta }\) jest wtedy wspólnym okresem funkcji funkcji \(\displaystyle{ f }\) i \(\displaystyle{ g, }\) a więc tym bardziej funkcji \(\displaystyle{ h = f + g. }\)

Załóżmy z kolei, że żaden okres funkcji \(\displaystyle{ f }\) nie jest współmierny z żadnym okresem funkcji \(\displaystyle{ g. }\)

Czy stąd wynika, że funkcja \(\displaystyle{ h = f + g }\) nie jest funkcją okresową?

Odpowiedź twierdzącą na to pytanie można uzyskać biorąc na przykład funkcję \(\displaystyle{ x \rightarrow \sin(x) }\) i \(\displaystyle{ x\rightarrow \{x\}}\) gdzie \(\displaystyle{ \{x\} = x - \left\lfloor x \right\rfloor, }\) gdzie oznacza mantysę liczby \(\displaystyle{ x. }\)

Zadanie pochodzi z książki Anieli Ehrenfeuht i Olgi Stande: Algebra. Zbiór zadań z matematyki elementarnej. Zadanie 180 b) str.43. PWN Warszawa 1975

Obie te funkcje mają okresy podstawowe równe odpowiednio \(\displaystyle{ 2\pi, \ \ 1. }\)

Okresy tych funkcji nie są współmierne. Czy funkcja \(\displaystyle{ x \rightarrow \sin(x) + \{x\} }\) jest funkcją okresową?

Zauważmy, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x }\) mamy \(\displaystyle{ 0 \leq \{x\} < 1, }\) przy czym \(\displaystyle{ \{x\} = 0 }\) gdy \(\displaystyle{ x }\) jest liczbą całkowitą.

Jeśli \(\displaystyle{ \alpha }\) jest okresem funkcji \(\displaystyle{ f }\) to \(\displaystyle{ f(\alpha) = f(-\alpha) = f(0).}\)

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \alpha }\) jest okresem funkcji \(\displaystyle{ x \rightarrow \sin(x) + \{x \}. }\)

Wówczas zachodzą równości \(\displaystyle{ \sin(\alpha) + \{\alpha\} = \sin(-\alpha) +\{-\alpha\} = 0. }\)

Stąd \(\displaystyle{ \{\alpha\} + \{ -\alpha\} = 0. }\)

Wobec tego, że \(\displaystyle{ \{\alpha\} \geq 0 }\) i \(\displaystyle{ \{-\alpha\} \geq 0 }\) mamy \(\displaystyle{ \{\alpha\} = \{-\alpha\} = 0.}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \sin(\alpha) = 0, }\) skąd \(\displaystyle{ \alpha = k\pi }\) , gdzie \(\displaystyle{ k }\) jest liczbą całkowitą różną od zera.

Wynika stąd, że \(\displaystyle{ \alpha }\) nie jest liczbą całkowitą, a więc \(\displaystyle{ \{ \alpha\} \neq 0 .}\)

Doszliśmy do sprzeczności.

Funkcja \(\displaystyle{ x \rightarrow \sin(x) + \{x\} }\) nie jest więc funkcją okresową.

Okazuje, się że na ogół tak nie jest. Można znaleźć dwie funkcje okresowe takie, że żaden okres jednej z tych funkcji nie jest współmierny z żadnym okresem drugiej funkcji i których suma jest funkcją okresową.

Konstrukcję takich dwóch funkcji i dowód powyższego stwierdzenia można znaleźć na przykład w artykule :

A.D. Kudriaszow, A. S. Mieszczeriakow, K woprosu o pieriodicieskich funkcjach. Matematika w szkole nr. 6 (1969) s. 11-21.

Reasumując

Suma funkcji okresowych o okresach współmiernych jest funkcją okresową.

Suma funkcji okresowych o okresach będących liczbami niewspółmiernymi może być funkcją okresową jak i nieokresową.

Można udowodnić, że jeżeli dwie funkcje okresowe , których okresy są liczbami niewspółmiernymi są ciągłe, to ich suma nie jest funkcją okresową.

Wystarczy założenie, że jedna z tych funkcji jest funkcją ciągłą.