\(\displaystyle{ f(x)+2f\left(\frac{x-1}{x}\right)=3x \ (*)}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ f(1)=3-2f(0)}\), dalej niech \(\displaystyle{ x\neq 1}\). Podstawmy w równaniu \(\displaystyle{ \ (*),
\ x:=\frac{1}{1-x}}\), a otrzymamy \(\displaystyle{ f\left(\frac{1}{1-x}\right)+2f(x)=\frac{3}{1-x}}\)
Natomiast podstawiając w równaniu \(\displaystyle{ (*), \ x:=\frac{x-1}{x}}\) dostajemy \(\displaystyle{ f\left(\frac{x-1}{x}\right)+2f\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{3(x-1)}{x}}\)
Mamy więc swoisty układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi \(\displaystyle{ f(x), \ f\left(\frac{x-1}{x}\right), \ f\left(\frac{1}{1-x}\right)}\), którego rozwiązanie to poziom dobrego rozszerzenia ze szkoły średniej lub samego początku pierwszego semestru studiów.
O ile nie pomyliłem się w przekształceniach, wychodzi \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{3}\left(x-\frac{2(x-1)}{x}+\frac{4}{1-x}\right), \ x\notin\left\{0,1\right\}, \ f(1)=3-2f(0)}\)
a \(\displaystyle{ f(0)}\) może być jakiekolwiek.
