Okresowa surjekcja

[mol_ksiazkowy]

Czy istnieje \(\displaystyle{ f : \RR \to \RR}\), która jest surjekcją i jest okresowa, oraz \(\displaystyle{ f(x+1)- f(x) =1}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\) ?

[Dasio11]

Istnieje: rozważmy podgrupę \(\displaystyle{ G \le (\RR, +)}\) generowaną przez parę \(\displaystyle{ \{ 1, \sqrt{2} \}}\) i niech \(\displaystyle{ S}\) będzie selektorem \(\displaystyle{ \RR/G}\). Z arytmetyki kardynalnej wynika, że \(\displaystyle{ S}\) musi być mocy continuum (bo \(\displaystyle{ G}\) jest przeliczalna i \(\displaystyle{ |\RR| = |S| \cdot |G|}\)), weźmy więc dowolną bijekcję \(\displaystyle{ g : S \to \RR}\). Każda liczba rzeczywista \(\displaystyle{ x}\) jednoznacznie zapisuje się jako

\(\displaystyle{ x = s + k + \ell \sqrt{2}}\),

gdzie \(\displaystyle{ s \in S, k, \ell \in \ZZ}\). Dla tak przedstawionej liczby kładziemy \(\displaystyle{ f(x) = g(s) + k}\). Wtedy:

- \(\displaystyle{ f \upharpoonright S = g}\), zatem \(\displaystyle{ f[\RR] \supseteq f[S] = g[S] = \RR}\), czyli \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją;
- \(\displaystyle{ f(x+\sqrt{2}) = f \big( s+k+(\ell+1) \sqrt{2} \big) = g(s) + k = f(x)}\), czyli \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest okresem \(\displaystyle{ f}\);
- \(\displaystyle{ f(x+1) = f \big( s+(k+1)+\ell \sqrt{2} \big) = g(s) + k+1 = f(x)+1}\), czyli \(\displaystyle{ f}\) spełnia żądane równanie.