Problem ze zrozumieniem wyznaczania zbioru wartości

[DamianSc]

Cześć. Potrzebuję zrozumieć metody wyznaczania zbioru wartości i mam problem konkretnie z jedną grupa przypadków - gdy dziedzina funkcji to przedział z jednej lub z obu stron otwarty, który nie wynika z samego wzoru funkcji, tylko został otrzymany w toku rozwiązywania zadania. Z tego co wiem, to samo odczytanie z wykresu nie wystarczy, trzeba to jakoś algebraicznie uzasadnić i tu mam problem. W materiałach, które znalazłem w internecie najczęściej jest to robione tak, że jak mamy funkcję \(\displaystyle{ f}\) i jej dziedzinę \(\displaystyle{ (x, z)}\), to obliczamy \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ f(z)}\) (zakładam, że funkcja jest rosnąca w tym przedziale) i to są te wartości skrajne funkcji, których funkcja nie osiąga, tworzące zbiór wartości \(\displaystyle{ (f(x), f(z))}\). Wszystko ładnie wychodzi, nie rozumiem tylko jednej rzeczy - dlaczego mogę obliczyć wartość \(\displaystyle{ f(x)}\), skoro \(\displaystyle{ x}\) w ogóle nie należy do dziedziny, więc funkcja siłą rzeczy nie ma żadnej wartości dla argumentu \(\displaystyle{ x}\)? Myślałem o wykorzystaniu granicy funkcji w punkcie, ale przecież nie będę tego wykorzystywał do obliczenia zbioru wartości każdej banalnej funkcji liniowej, która ma zadaną dziedzinę. A może po prostu mogę na chwilę "opuścić" dziedzinę żeby sprawdzić jaką wartość funkcja przyjmowałaby w \(\displaystyle{ x}\)? Mam nieodparte wrażenie, że nie rozumiem jakiejś banalnej kwestii, ale nie udało mi się tego rozstrzygnąć, a nie mam kogo o to zapytać.

Podam jeszcze konkretny przykład, przy którym pierwszy raz zaczęło mi coś nie pasować (wcześniej się nad tym nie zastanawiałem i po prostu podstawiałem te argumenty, których funkcja nie osiąga do jej wzoru i nie było problemu):
Mamy zadanie, gdzie w toku rozwiązania otrzymaliśmy funkcję wymierną \(\displaystyle{ f(x) = 1 + \frac{3}{x-3}}\) i jej dziedzinę \(\displaystyle{ (-∞; 1) \cup (3; +∞)}\), mamy wyznaczyć zbiór wartości. Wykres:

Kod: Zaznacz cały

https://www.desmos.com/calculator/ydi8p61qt0?fbclid=IwAR0kOJCxuXQ53tqVpu91mxafjM0nnEI-c4SOZiBBOz2-Ib_1P1QXTvPTGnI

To, że funkcja dąży do \(\displaystyle{ + \infty}\) i nie przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 1}\) jest proste do uzasadnienia. Co jednak z tym ograniczeniem dziedziny przez \(\displaystyle{ 1}\), jak policzyć tę wartość? Funkcja dla \(\displaystyle{ x = 1}\) nie przyjmuje żadnej wartości, w ogóle w tym punkcie nie istnieje (jeśli można tak powiedzieć), bo \(\displaystyle{ 1}\) nie należy do dziedziny. Natomiast "widać", że wartość w \(\displaystyle{ 1}\) "wynosiłaby" \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) i faktycznie jeśli wbrew dziedzinie podstawić \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ f(1) = -\frac{1}{2}}\). Czy jednak podstawienie do wzoru funkcji argumentu, w którym ze względu na dziedzinę funkcja ta nie ma żadnej wartości jest poprawne? Jeśli tak, to dlaczego? Jeśli nie, jak inaczej to uzasadnić? Mam nadzieję, że jest to choć trochę zrozumiałe. Z góry dziękuję za pomoc.

[Janusz Tracz]

Cześć. Potrzebuję zrozumieć metody wyznaczania zbioru wartości i mam problem konkretnie z jedną grupa przypadków - gdy dziedzina funkcji to przedział z jednej lub z obu stron otwarty, który nie wynika z samego wzoru funkcji, tylko został otrzymany w toku rozwiązywania zadania. Z tego co wiem, to samo odczytanie z wykresu nie wystarczy, trzeba to jakoś algebraicznie uzasadnić i tu mam problem. W materiałach, które znalazłem w internecie najczęściej jest to robione tak, że jak mamy funkcję \(\displaystyle{ f}\) i jej dziedzinę \(\displaystyle{ (x, z)}\), to obliczamy \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ f(z)}\) (zakładam, że funkcja jest rosnąca w tym przedziale) i to są te wartości skrajne funkcji, których funkcja nie osiąga, tworzące zbiór wartości \(\displaystyle{ (f(x), f(z))}\). Wszystko ładnie wychodzi, nie rozumiem tylko jednej rzeczy - dlaczego mogę obliczyć wartość \(\displaystyle{ f(x)}\), skoro \(\displaystyle{ x}\) w ogóle nie należy do dziedziny, więc funkcja siłą rzeczy nie ma żadnej wartości dla argumentu \(\displaystyle{ x}\)?

To są uzasadnione wątpliwości. Formalnie (a nawet nieformalnie) nie można podstawiać wartości które do dziedziny nie należą. W dodatku tak nonszalanckie postępowanie możne prowadzić do błędów szczególnie gdy się do niego przyzwyczaimy (więc lepiej się nie przyzywać).

Myślałem o wykorzystaniu granicy funkcji w punkcie, ale przecież nie będę tego wykorzystywał do obliczenia zbioru wartości każdej banalnej funkcji liniowej, która ma zadaną dziedzinę. A może po prostu mogę na chwilę "opuścić" dziedzinę żeby sprawdzić jaką wartość funkcja przyjmowałaby w \(\displaystyle{ x}\)? Mam nieodparte wrażenie, że nie rozumiem jakiejś banalnej kwestii, ale nie udało mi się tego rozstrzygnąć, a nie mam kogo o to zapytać.

Dlaczego nie chcesz skorzystać z granicy w przypadkach banalnych? Funkcja liniowa jest taka sama jak każda inna i bez podania jej szczególnych własności nie wolno tak po prostu podstawiać wartości które nie są w dziedzinie dlatego też wypada policzyć granicę (i ogólnie zbadać funkcję). Te szczególne własności które pozwalają czasem przymknąć oko na dziedzinę i podstawiać to ciągłość a dokładniej ciągłości lewo i parowo storna bo jeśli mamy funkcję ciągłą i rosnącą określoną na \(\displaystyle{ \left[ a,b\right] \subseteq \RR}\) obciętą od \(\displaystyle{ \left( a,b\right) }\) przy czym

\(\displaystyle{ \lim_{x \to a^{+}}f(x)=f(a) }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to b^{-}}f(x)=f(b) }\)

to zbiorem wartości będzie \(\displaystyle{ \left( f(a),f(b)\right) }\) ale przykładowo można rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f:\left[ 0,1\right] \rightarrow \RR}\) taką, że:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{x} \text{ dla } x \neq 0 \\ 1 \text{ dla } x =0 \end{cases} }\)

Jeśli obetniemy ją do \(\displaystyle{ (0,1)}\) i skorzystamy z tej metody to wyjdą nam bzdury. Funkcja ta nie jest ciągła jednostronnie w \(\displaystyle{ 0}\). Zatem podstawienie zadziała ogólnie gdy funkcja jest ciągła my a ją obcinamy. Niemniej jednak w warunkach licealnych wydaje mi się, że policzenie tej prostej granicy które i tak sprowadza się wtedy do podstawiania wartości pod \(\displaystyle{ x}\) jest najlepszym rozwiązaniem.

Podam jeszcze konkretny przykład, przy którym pierwszy raz zaczęło mi coś nie pasować (wcześniej się nad tym nie zastanawiałem i po prostu podstawiałem te argumenty, których funkcja nie osiąga do jej wzoru i nie było problemu):
Mamy zadanie, gdzie w toku rozwiązania otrzymaliśmy funkcję wymierną \(\displaystyle{ f(x) = 1 + \frac{3}{x-3}}\) i jej dziedzinę \(\displaystyle{ (-∞; 1) \cup (3; +∞)}\), mamy wyznaczyć zbiór wartości. Wykres:

Kod: Zaznacz cały

https://www.desmos.com/calculator/ydi8p61qt0?fbclid=IwAR0kOJCxuXQ53tqVpu91mxafjM0nnEI-c4SOZiBBOz2-Ib_1P1QXTvPTGnI

To, że funkcja dąży do \(\displaystyle{ + \infty}\) i nie przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 1}\) jest proste do uzasadnienia. Co jednak z tym ograniczeniem dziedziny przez \(\displaystyle{ 1}\), jak policzyć tę wartość? Funkcja dla \(\displaystyle{ x = 1}\) nie przyjmuje żadnej wartości, w ogóle w tym punkcie nie istnieje (jeśli można tak powiedzieć), bo \(\displaystyle{ 1}\) nie należy do dziedziny. Natomiast "widać", że wartość w \(\displaystyle{ 1}\) "wynosiłaby" \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) i faktycznie jeśli wbrew dziedzinie podstawić \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ f(1) = -\frac{1}{2}}\). Czy jednak podstawienie do wzoru funkcji argumentu, w którym ze względu na dziedzinę funkcja ta nie ma żadnej wartości jest poprawne? Jeśli tak, to dlaczego? Jeśli nie, jak inaczej to uzasadnić? Mam nadzieję, że jest to choć trochę zrozumiałe. Z góry dziękuję za pomoc.

To jest podobny przykład do tego co podałem z tym, że tu \(\displaystyle{ x=3}\) nie da się podstawić nawet gdyby się chciało więc jest o jedną pułapkę mniej. Natomiast Funkcja (o tym samym wzorze lecz dziedzinie naturalnej) jest ciągła w \(\displaystyle{ x=1}\) zatem podstawienie zadziała. Tylko, że ta funkcja nie jest monotoniczna a to dla funkcji monotonicznych robiliśmy powyższe rozważania (ale to da się naprawić). Tylko, że i tak udowodnienie tych faktów sprowadza się do policzenia granicy.