Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 58 razy
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)=e^{-y^{2}}(2x^{3}-3x^2+1)+e^{-y}(2x^{3}-3x^{2})}\)
Mam pokazać, że me ona jeden punkt krytyczny, w którym ma maksimum lokalne, ale nie ma wartości największej funkcji f.
Punkt krytyczny znalazłam - to \(\displaystyle{ (0,0)}\). Zaczęłam tak:
\(\displaystyle{ f(x,0)=4x^{3}-6x^{2}+1}\)
\(\displaystyle{ f(0,y)=e^{-y^{2}}}\)
Jednak to do niczego mnie nie doprowadziło. Nie wiem jak inaczej pokazać, że osiąga tam maksimum.
Mam pokazać, że me ona jeden punkt krytyczny, w którym ma maksimum lokalne, ale nie ma wartości największej funkcji f.
Punkt krytyczny znalazłam - to \(\displaystyle{ (0,0)}\). Zaczęłam tak:
\(\displaystyle{ f(x,0)=4x^{3}-6x^{2}+1}\)
\(\displaystyle{ f(0,y)=e^{-y^{2}}}\)
Jednak to do niczego mnie nie doprowadziło. Nie wiem jak inaczej pokazać, że osiąga tam maksimum.
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 58 razy
Re: Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Próbowałam, ale wyznacznik wyszedł 0, a z tego co wiem, to wtedy nic nam to nie mówi.
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 58 razy
Re: Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Faktycznie, wszystko pięknie wychodzi, mój błąd. Czy mogę wytłumaczyć brak maksimum globalnego poprzez to, że dziedzina (rzeczywiste) nie jest zbiorem zwartym, więc funkcja nie musi osiągać swoich minimów/maksimów?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Nie możesz, to logicznie jest bez sensu. Przykładowo, funkcja \(\displaystyle{ f(x) = -x^2}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) nie ma zwartej dziedziny, a ma maksimum globlane.
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 58 razy
Re: Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
No tak... Jedyne co innego przychodzi mi do głowy do pokazać, że istnieje wartość funkcji większa od ekstremum, ale znów wtedy trzeba by szukać wartości większej od tamtej itp., więc to chyba mało lukratywny sposób. Da się to jakoś ładnie uzasadnić?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Jasne. mamy \(\displaystyle{ f(x,0)=4x^{3}-6x^{2}+1}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}\left(4x^{3}-6x^{2}+1\right)=+\infty}\)
Zatem z definicji granicy niewłaściwej dla dowolnego \(\displaystyle{ M>0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ x_{0}\in \RR}\), że dla dowolnego \(\displaystyle{ x>x_{0}}\) zajdzie \(\displaystyle{ 4x^{3}-6x^{2}+1>M}\), w szczególności istnieją dowolnie duże wartości tej funkcji.
To, że ta granica tyle wynosi, to raczej elementarny fakt, ale gdybyś miała problem z jego wykazaniem, to pisz.
Zatem z definicji granicy niewłaściwej dla dowolnego \(\displaystyle{ M>0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ x_{0}\in \RR}\), że dla dowolnego \(\displaystyle{ x>x_{0}}\) zajdzie \(\displaystyle{ 4x^{3}-6x^{2}+1>M}\), w szczególności istnieją dowolnie duże wartości tej funkcji.
To, że ta granica tyle wynosi, to raczej elementarny fakt, ale gdybyś miała problem z jego wykazaniem, to pisz.