Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 58 razy

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Nuna »

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)=e^{-y^{2}}(2x^{3}-3x^2+1)+e^{-y}(2x^{3}-3x^{2})}\)
Mam pokazać, że me ona jeden punkt krytyczny, w którym ma maksimum lokalne, ale nie ma wartości największej funkcji f.
Punkt krytyczny znalazłam - to \(\displaystyle{ (0,0)}\). Zaczęłam tak:
\(\displaystyle{ f(x,0)=4x^{3}-6x^{2}+1}\)
\(\displaystyle{ f(0,y)=e^{-y^{2}}}\)
Jednak to do niczego mnie nie doprowadziło. Nie wiem jak inaczej pokazać, że osiąga tam maksimum.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Tmkk »

Możesz na przykład zbadać określoność hesjanu w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\).
Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 58 razy

Re: Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Nuna »

Tmkk pisze: 3 kwie 2020, o 18:22 Możesz na przykład zbadać określoność hesjanu w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\).
Próbowałam, ale wyznacznik wyszedł 0, a z tego co wiem, to wtedy nic nam to nie mówi.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Tmkk »

Zgadza się, ale w tym przypadku nie wychodzi zero. Policz jeszcze raz lub pokaż jak liczysz.
Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 58 razy

Re: Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Nuna »

Faktycznie, wszystko pięknie wychodzi, mój błąd. Czy mogę wytłumaczyć brak maksimum globalnego poprzez to, że dziedzina (rzeczywiste) nie jest zbiorem zwartym, więc funkcja nie musi osiągać swoich minimów/maksimów?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Tmkk »

Nie możesz, to logicznie jest bez sensu. Przykładowo, funkcja \(\displaystyle{ f(x) = -x^2}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) nie ma zwartej dziedziny, a ma maksimum globlane.
Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 58 razy

Re: Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Nuna »

No tak... Jedyne co innego przychodzi mi do głowy do pokazać, że istnieje wartość funkcji większa od ekstremum, ale znów wtedy trzeba by szukać wartości większej od tamtej itp., więc to chyba mało lukratywny sposób. Da się to jakoś ładnie uzasadnić?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Premislav »

Jasne. mamy \(\displaystyle{ f(x,0)=4x^{3}-6x^{2}+1}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}\left(4x^{3}-6x^{2}+1\right)=+\infty}\)
Zatem z definicji granicy niewłaściwej dla dowolnego \(\displaystyle{ M>0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ x_{0}\in \RR}\), że dla dowolnego \(\displaystyle{ x>x_{0}}\) zajdzie \(\displaystyle{ 4x^{3}-6x^{2}+1>M}\), w szczególności istnieją dowolnie duże wartości tej funkcji.
To, że ta granica tyle wynosi, to raczej elementarny fakt, ale gdybyś miała problem z jego wykazaniem, to pisz.
Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 58 razy

Re: Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Nuna »

Dziękuję! Rzeczywiście wystarczy policzyć granicę :)
ODPOWIEDZ