Wzór rekurencyjny

[Niepokonana]

Witam
Proszę o wyjaśnienie mi ciągów o danym wzorze rekurencyjnym.
Wykaż, że ciąg jest monotoniczny:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}= \sqrt{2} \\ a_{n+1}=a_{n}-4 & \text{dla } n \ge 1\end{cases} }\)

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ k}\) ciąg jest rosnący?
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=3 \\ a_{n+1}= \frac{2k-1}{k+1}a_{n} \end{cases} }\)
Gdyby to było na normalnych wzorach to bym umiała.

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ 1)}\) A czy umiesz wypisać kilka wyrazów ciągu zadanego wzorem rekurencyjnym? Spróbuj bo to tak naprawdę sprawdza czy rozumiesz co to jest rekurencja.
\(\displaystyle{ 2)}\) Czy znasz definicję ciągu monotonicznego?

Jeśli tak to zauważ, że na przykład w pierwszym przykładzie \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n-4}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=-4}\). Co jest spełnione zawsze dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) zatem \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n<0}\) co to oznacza. Powiem więcej zauważ, że \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\text{constans}}\) czyli każdy kolejny wyraz jest o ten \(\displaystyle{ \text{constans}}\) różny od poprzednika. Taki ciąg ma swoją nazwę. W kolejnym przykładzie jest podobnie, jak zrozumiesz ten to zabierzemy się za kolejny.

[Niepokonana]

Ciąg monotoniczny? Ciężko mi to wyjaśnić... Na przykład jest rosnący, gdzie każdy kolejny wyraz jest większy, malejący, gdzie każdy jest coraz mniejszy, stały, gdzie wszystkie wartości są takie same, niemalejący, gdzie wartości są coraz większe albo pozostają stałe, nierosnący, gdzie wartości maleją albo pozostają stałe.
Jeżeli wartości są raz większe raz mniejsze, idąc po kolei, to jest niemonotoniczny.
\(\displaystyle{ a_{2}= \sqrt{2} -4}\)
\(\displaystyle{ a_{3}= \sqrt{2} -8}\)
Będą maleć o \(\displaystyle{ 4}\).

[Janusz Tracz]

Ciąg monotoniczny? Ciężko mi to wyjaśnić... Na przykład jest rosnący, gdzie każdy kolejny wyraz jest większy, malejący, gdzie każdy jest coraz mniejszy, stały, gdzie wszystkie wartości są takie same, niemalejący, gdzie wartości są coraz większe albo pozostają stałe, nierosnący, gdzie wartości maleją albo pozostają stałe.

Zgadza się. A algebraicznie oznacza to, że ciąg malejący (analogicznie dla pozostałych) to taki w którym \(\displaystyle{ a_{n+1}<a_n}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) czyli tak jak mówisz następnik jest mniejszy od poprzednika.

\(\displaystyle{ a_{2}= \sqrt{2} -4}\)
\(\displaystyle{ a_{3}= \sqrt{2} -8}\)
Będą maleć o \(\displaystyle{ 4}\).

No właśnie jak sama zauważyłaś ciąg jest malejący bo każdy kolejny jest mniejszy (tu nawet da się powiedzieć o ile dokładnie). A formalnie sprawdzamy czy \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n<0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\). Sprawdzenie polega tu na spostrzeżenie, że \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=-4}\) więc jest to ciąg malejący.

[Niepokonana]

No dobrze, ale są dużo trudniejsze rzeczy w tych ciągach np. jak ustalić wzór, kiedy mamy dwa elementy oraz wzór na następny w zależności od dwóch poprzednich?

[Janusz Tracz]

No dobrze, ale są dużo trudniejsze rzeczy w tych ciągach np. jak ustalić wzór, kiedy mamy dwa elementy

A co to ma wspólnego z pierwotnym zadaniem? Wzór jawny nie jest tu przydatny choć dałem Ci wskazówkę jak go wyznaczyć. Ciąg zdefiniowany jak w pierwszym przykładzie to ciąg arytmetyczny wprost z definicji, w drugim to geometryczny. Choć przyznam, że już się zgubiłem i nie wiem czy mówisz o zadaniu czy ogólnie o ciągach rekurencyjnych.

wzór na następny w zależności od dwóch poprzednich?

A jaki to ma związek? No można od biedy zapisać \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n-4+0 \cdot a_{n-1}}\) tylko po co... w dodatku trzeba dać wtedy kolejny warunek początkowy \(\displaystyle{ a_2}\) albo tak \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+ \frac{a_{n-1}-4}{2}-4 }\) (jak widać jest to niejednoznaczne) i nieprzydatne w tym zadaniu.

[Niepokonana]

No odnośnie tych dwóch zadań i ogólnie jednocześnie. A w drugim zadaniu jak to zrobić? Jak takie rzeczy się robi i w ogóle po co jest ciąg rekurencyjny, skoro ogólny się sprawdza?

[Janusz Tracz]

No odnośnie tych dwóch zadań i ogólnie jednocześnie...Jak takie rzeczy się robi

W ogólności to się to robi z definicji, a w szczególność jeśli ciąg jest przyjazny (cokolwiek to znaczy) to można opisać pewne warunki które będą równoważne definicji. Ciąg arytmetyczny jest przyjazny jak się zna jego różnicę \(\displaystyle{ r}\) to można powiedzieć czy jest rosnący \(\displaystyle{ r>0}\) czy stały \(\displaystyle{ r=0}\) czy malejący \(\displaystyle{ r<0}\). Podobnie z ciągiem geometrycznym daje się go całkiem nieźle opisać za pomocą ilorazu \(\displaystyle{ q}\) (choć tu sprawa wymaga rozważanie kilku przypadków) przykładowo jeśli \(\displaystyle{ a_1>0}\) to gdy \(\displaystyle{ q>1}\) to ciąg rożnie, gdy \(\displaystyle{ 0<q<1}\) to maleje a gdy \(\displaystyle{ q=1}\) to jest stały, dla \(\displaystyle{ q=0}\) jest nierosnący,\(\displaystyle{ q < 0}\) ciąg jest niemonotoniczny. Formalnie nie jest to definicja ale warunki te wystarczają do określenia monotoniczność. Trzeba Ci jednak wiedzieć, że na świecie nie istnieją jedynie ciągi arytmetyczne i geometryczne.

A w drugim zadaniu jak to zrobić?

Zauważamy, że przy ustalonym \(\displaystyle{ k}\) ciąg ten jest geometryczny wszak

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{2k-1}{k+1} =q }\)

jego pierwszy wyraz to \(\displaystyle{ 3}\) więc wystarczy, że rozważysz opisane powyżej warunki \(\displaystyle{ q>1}\) , \(\displaystyle{ q=1}\) i \(\displaystyle{ 0<q<1}\) no i skrajny przypadek gdy \(\displaystyle{ q=0}\) i nasz ciąg to \(\displaystyle{ \left\langle 3,0,0,0,...\right\rangle }\).

w ogóle po co jest ciąg rekurencyjny, skoro ogólny się sprawdza?

Jak już mówiłem na świecie są ciągi inne od arytmetycznego i geometrycznego i nie zawsze istnieje jakiś ładny wzór jawny. Czasem mamy tylko rekurencją zależność i wyznaczenie jawnej postaci może być bardzo bardzo trudne dlatego warto umieć badać ciąg bez znajomości jego jawnego opisu.

[Niepokonana]

Nie wiem, co to ciąg geometryczny...
Jak mamy ciąg to jak sprawdzić jego monotoniczność? Wziąć ze 2 dwie lub więcej wartości i porównać? Raz jest różnica ujemna, raz dodatnia, więc nie jest monotoniczny? Taki sposób jest trochę bez sensu.

[a4karo]

Nie wiem, co to ciąg geometryczny...
Jak mamy ciąg to jak sprawdzić jego monotoniczność? Wziąć ze 2 dwie lub więcej wartości i porównać? Raz jest różnica ujemna, raz dodatnia, więc nie jest monotoniczny? Taki sposób jest trochę bez sensu.

Wyobraź sobie, że już jesteś duża, pracujesz i co miesiąc dostajesz pensję na konto. Jak chcesz sprawdzić czy Twoja pensja rośnie? Porównujesz ze sobą kolejne wpływy. I to ma sens. Dlaczego w matematyce miałoby być inaczej?

Dla ciągów o wyrazach dodatnich równoważną metodą jest policzenie ilorazu \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) i porównanie wyniku z jedynką. Dlaczego? Pomyśl.

[Niepokonana]

Panie a4karo, ja wcale nie jestem małą dziewczynką.
Znam te metody. Pierwsza jak jest ciąg związany z dodawaniem lub odejmowaniem. Drugiej się używa, jak mamy ciąg związany z mnożeniem i dzieleniem. Tylko to dla mnie bez sensu.
A jak sprawdzić czy ciąg jest monotoniczny?

[Jan Kraszewski]

Tylko to dla mnie bez sensu.

Bo?

JK

[Niepokonana]

No bo te wzory rekurencyjne są dziwne. Nie no, nie chcę ich obrazić, ale nie rozumiem, jak się wykonuje na nich działania.

[Janusz Tracz]

Nie wiem, co to ciąg geometryczny...

ok myślałem, że już było w szkole. Trochę to dziwne, że najpierw jest rekurencja a potem ... chociaż to może ze względy na obecną sytuację. W taki razie ciąg geometryczny to taki w którym kolejny wyraz powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego przez jąkać stałą z góry ustaloną liczbę \(\displaystyle{ q}\). Wzór ogólny to \(\displaystyle{ a_n=q^{n-1}a_1}\), a rekurencyjny to \(\displaystyle{ a_n=q \cdot a_{n-1}}\).

No bo te wzory rekurencyjne są dziwne...jak się wykonuje na nich działania.

Na samym począdku pierwszą rzeczą jaką zrobiłem było zadania pytania:

\(\displaystyle{ 1)}\) A czy umiesz wypisać kilka wyrazów ciągu zadanego wzorem rekurencyjnym? Spróbuj bo to tak naprawdę sprawdza czy rozumiesz co to jest rekurencja.

Udało Ci się poprawnie odpowiedzieć (a przynajmniej odniosłem wrażanie, że umiesz wyliczyć kolejne wyrazu). Bez zrozumienia idei rekurencji trudno zrozumieć poprawność dowodu na przykład monotoniczności. Trudno mi coś doradzić bo wysyłasz sprzeczne sygnały poprawnie liczysz kolejne wyrazy ciągu. Poprawnie formułujesz czym jest monotoniczność po czym pytasz się o monotoniczność.

A jak sprawdzić czy ciąg jest monotoniczny?

Tak jak kilkukrotnie pisałem z definicji monotoniczności lub o ile okoliczności pozwalają (tak jak tu) korzystamy z ogólnie znanych faktów. Napisz definicję ciągu malejącego taką jaką masz w podręczniku, za pomocą słów i znaczków. Tak jak pisałem nie do końca umiem Ci pomóc bo nie rozumiem Twojego problemu (dlatego ciesze się, że a4karo i Jan Kraszewski się przyłączyli może oni lepiej odczytają intencje). Może proponuję takie rozwiązanie: napisz wspomnianą definicję oraz całe rozwiązanie takie jak Ci się zdaje, że ma być. Wypisz też kilka pierwszych wyrazów (powiedzmy \(\displaystyle{ 5}\) i spróbuj zgadnąć wzór na \(\displaystyle{ a_n}\)).

[Niepokonana]

Nie, Panie Tracz, mój podręcznik i zbiór zadań tak mają ułożone tematy, że rekurencyjne ciągi są dwa tematy przed geometrycznymi.

Ja się wyrażam jasno. Znam teorię, ale nie umiem jej użyć w zadaniu.
Nie odpowiedział Pan jak sprawdzić, czy ciąg jest monotoniczny, mając definicję monotoniczności.