Funkcja niemalejąca - nierówność

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 41 razy

Funkcja niemalejąca - nierówność

Post autor: Nuna » 26 mar 2020, o 11:20

Od razu przepraszam, jeżeli temat jest w złym dziale, kompletnie nie wiedziałam, gdzie go umieścić.

Mam udowodnić poniższą nierówność:
Jeśli \(\displaystyle{ f: \left[ A,B\right] \rightarrow \RR}\) i jest niemalejąca oraz \(\displaystyle{ A,B \in \NN}\), to
\(\displaystyle{ f(A)+ \int_{A}^{B}f(x)dx \le \sum_{k=A}^{B} f(k) \le f(B) + \int_{A}^{B}f(x)dx }\)

Na początku myślałam, żeby wykorzystać sumy Riemanna (myślę, że to dość naturalny pomysł), ale nie umiem tego dalej pociągnąć. Chciałam wyjść też od
\(\displaystyle{ f(A) \le f(x) \le f(B)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left[ A,B\right] }\), ale moja inwencja się kończy dość szybko.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: Funkcja niemalejąca - nierówność

Post autor: Premislav » 26 mar 2020, o 11:27

Wskazówka: skoro \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca, to
\(\displaystyle{ f(k)\le\int_{k}^{k+1}f(x)\mbox{d}x\le f(k+1)}\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2625
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 69 razy
Pomógł: 825 razy

Re: Funkcja niemalejąca - nierówność

Post autor: Janusz Tracz » 26 mar 2020, o 12:28

Ta nierówność to właściwie kryterium całkowe zbieżności szeregu (w linku jest też dowód) dlatego polecam skorzystać z tej podpowiedzi dopiero wtedy gdy wskazówka Premislava by Ci nie pomogła (choć jest to kluczowe spostrzeżenie).

Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 41 razy

Re: Funkcja niemalejąca - nierówność

Post autor: Nuna » 26 mar 2020, o 12:39

Premislav pisze:
26 mar 2020, o 11:27
Wskazówka: skoro \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca, to
\(\displaystyle{ f(k)\le\int_{k}^{k+1}f(x)\mbox{d}x\le f(k+1)}\)
No tak, to jest dla mnie jasne, jednak co dalej? Nie umiem tego wykorzystać, nie wiem co zrobić z sumą w środku...
Janusz Tracz pisze:
26 mar 2020, o 12:28
Ta nierówność to właściwie kryterium całkowe zbieżności szeregu (w linku jest też dowód) dlatego polecam skorzystać z tej podpowiedzi dopiero wtedy gdy wskazówka Premislava by Ci nie pomogła (choć jest to kluczowe spostrzeżenie).
Dziękuję, poczytam, myślę, że to pomoże, jakby co to dam znać ;)
Ostatnio zmieniony 26 mar 2020, o 12:40 przez Nuna, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14627
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: Funkcja niemalejąca - nierówność

Post autor: Premislav » 26 mar 2020, o 12:40

Dodaj stronami takie nierówności dla \(\displaystyle{ k=A, \ A+1, \ldots B-1}\).

ODPOWIEDZ