Funkcja niemalejąca - nierówność

[Nuna]

Od razu przepraszam, jeżeli temat jest w złym dziale, kompletnie nie wiedziałam, gdzie go umieścić.

Mam udowodnić poniższą nierówność:
Jeśli \(\displaystyle{ f: \left[ A,B\right] \rightarrow \RR}\) i jest niemalejąca oraz \(\displaystyle{ A,B \in \NN}\), to
\(\displaystyle{ f(A)+ \int_{A}^{B}f(x)dx \le \sum_{k=A}^{B} f(k) \le f(B) + \int_{A}^{B}f(x)dx }\)

Na początku myślałam, żeby wykorzystać sumy Riemanna (myślę, że to dość naturalny pomysł), ale nie umiem tego dalej pociągnąć. Chciałam wyjść też od
\(\displaystyle{ f(A) \le f(x) \le f(B)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left[ A,B\right] }\), ale moja inwencja się kończy dość szybko.

[Premislav]

Wskazówka: skoro \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca, to
\(\displaystyle{ f(k)\le\int_{k}^{k+1}f(x)\mbox{d}x\le f(k+1)}\)

[Janusz Tracz]

Ta nierówność to właściwie

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_test_for_convergence

(w linku jest też dowód) dlatego polecam skorzystać z tej podpowiedzi dopiero wtedy gdy wskazówka Premislava by Ci nie pomogła (choć jest to kluczowe spostrzeżenie).

[Nuna]

Wskazówka: skoro \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca, to
\(\displaystyle{ f(k)\le\int_{k}^{k+1}f(x)\mbox{d}x\le f(k+1)}\)

No tak, to jest dla mnie jasne, jednak co dalej? Nie umiem tego wykorzystać, nie wiem co zrobić z sumą w środku...

Ta nierówność to właściwie

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_test_for_convergence

(w linku jest też dowód) dlatego polecam skorzystać z tej podpowiedzi dopiero wtedy gdy wskazówka Premislava by Ci nie pomogła (choć jest to kluczowe spostrzeżenie).

Dziękuję, poczytam, myślę, że to pomoże, jakby co to dam znać

[Premislav]

Dodaj stronami takie nierówności dla \(\displaystyle{ k=A, \ A+1, \ldots B-1}\).