Ilość miejsc zerowych funkcji

[BezPaniki]

Mam pewne pytanie, tak z czystej ciekawości
Czy istnieją jakieś metody, algorytmy, cokolwiek, za pomocą których można obliczyć bądź wyznaczyć, ile dana funkcja posiada miejsc zerowych?
Wiem, że w przypadku funkcji wielomianowych można na podstawie stopnia wielomianu wyznaczyć maksymalną ilość pierwiastków, jaką dana funkcja może posiadać, lecz to nie to samo co wyznaczenie ich dokładnej liczby

[Dilectus]

A co, jeśli funkcja ma nleskończenie wiele miejsc zerowych, np. funkcja Dirichleta?

[BezPaniki]

A co, jeśli funkcja ma nleskończenie wiele miejsc zerowych, np. funkcja Dirichleta?

No nie wiem, wtedy powinno wyjść coś nietypowego w danej metodzie albo powinny być jakieś warunki/zastrzeżenia, kiedy jej stosowanie ma sens, a kiedy nie
Mogę sobie jedynie "gdybać", jeśli nie wiem, czy w ogóle takie narzędzia istnieją

[Janusz Tracz]

Wiem, że w przypadku funkcji wielomianowych można na podstawie stopnia wielomianu wyznaczyć maksymalną ilość pierwiastków, jaką dana funkcja może posiadać

Nie może posiadać tylko dokładnie posiada o ile zakładamy, że dziadziną jest \(\displaystyle{ \CC}\) (drobne czepialstwo z mojej strony ale akurat temat pytania jest dokładnie o tym więc ta korekta wydaje mi się istotna).

lecz to nie to samo co wyznaczenie ich dokładnej liczby

Nie trzeba znać dokładnej wartość miejsc zerowych by je zliczać miej to na uwadze. Poza tym to bardzo ogólne pytanie i odpowiedź jest zależna od rodzaju funkcji jaki rozpatrujesz. W pełnej ogólności prawdopodobnie nie ma nawet algorytmów numerycznych. Można rozważać skrajnie nieciągłe egzotyczne funkcje wielu zmiennych z którymi komputer sobie nie poradzi. Z drugiej strony takie samo pytanie można zadać na gruncie funkcji kwadratowej zmiennej rzeczywistej. Wtedy odpowiedź poznaje się w pierwszych klasach szkoły gdzie uczą o wyróżniku \(\displaystyle{ \Delta}\) który to właśnie wyróżnia sytuację \(\displaystyle{ 2}\) miejsc zerowych od \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 0}\) miejsc zerowych. Można to uogólnić dla wielomianów \(\displaystyle{ 3}\) stopnia wzory Cardano oraz \(\displaystyle{ 4}\) stopnia wzory ferrariego które pozwalają jawnie wyznaczyć pierwiastki więc również je zliczyć. Dla wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 5}\) i wyżej już ogólnych metod nie ma (i nie będzie) niemniej jednak coś powiedzieć można wszak mówi o tym uogólniony wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta}\)

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wyr%C3%B3%C5%BCnik_wielomianu

Czasami można na pytanie o ilość pierwiastków odpowiedzieć powołując się na monotoniczność. Naturalnie więc pojawia się związek z pochodną funkcji. Badanie funkcji pochodnej może przyjeść pewnie informacje. Pomocne bywa Twierdzenie Rolle’a.

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Rolle%E2%80%99a

Czasami wystarczy Twierdzenie Darboux i trochę cierpliwości. Przykładowo jeśli udało by się nam udowodnić, że wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków poprzez wskazanie, że Twierdzenie Darboux jest spełnione na \(\displaystyle{ n}\) parami rozłącznych przedziałach to tym samym wykażemy, że istnieje dokładanie \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków rzeczywistych.

Istnieją też twierdzenia\ algorytmy które pozwalają określać położenie pierwiastków szczególnie ważne jest to w teorii sterowania gdzie stabilność obiektów zależy właśnie od położenia pierwiastków. Trochę mówią o tym:

Kryterium Nyquista
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryterium_Nyquista
Kryterium stabilności Hurwitza
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryterium_stabilno%C5%9Bci_Hurwitza
Kryterium Jury
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryterium_Jury

Powyższe kryteria są związane z automatyką i nie wiem ile się o nich mówi na matematyce. Podejrzewam, że na analizie zespolonej prędzej wspomina się o:

Rouché's theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9%27s_theorem

które też może być pomocne przy określaniu liczby i położenia miejsc zerowych.

[BezPaniki]

Kurcze szkoda, że nie istnieje konkretne narzędzie pozwalające na coś takiego, a już miałem nadzieję, że może jednak
Dzięki za konkretną soczystą odpowiedź i przepraszam za drobne błędy, śnięty już trochę jestem

[Dasio11]

Dla funkcji wielomianowych nad \(\displaystyle{ \RR}\) algorytm istnieje:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Sturma

[BezPaniki]

Dla funkcji wielomianowych nad \(\displaystyle{ \RR}\) algorytm istnieje:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Sturma

Ooo, właśnie chodziło mi o coś takiego
Wielkie dzięki!